Тема 2

НАЧИСЛЕНИЕ ПО СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ

Сложные процентные ставки обычно используются для долгосрочных ссуд со сроком более года. При сложной процентной ставке процентный платеж в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а процентный платеж в последующем периоде начисляется уже на эту наращенную величину первоначального капитала. Процентный платеж может начисляться как в начале каждого периода (антиси-

пативное начисление процентов), так и в его конце (декурсивное начисление процентов). Последний способ наиболее распространен. Для начисления выплат по постоянной сложной процентной ставке обычно используется формула

Пример 2.1

500 ф. ст. помещаются на депозит под 7 % годовых. Вычислите общую сумму на счете после 4 лет и сумму процентного дохода, полученную за этот период.

Решение. Имеем S0 = 500 ф. ст. и i = 7 %. Через 4 года (n = Т/Т0 = 4) общая сумма вложения составит:

20

ST = S0 (1 +i/100)n = 500 (1+ 7/100)4 = 500 (1,3018) = 655,4.

Таким образом, по окончании 4 лет сумма инвестиции составит 655,4 ф. ст. Следовательно, исходное вложение принесет за 4 годапроцентный доход в сумме P = ST – S0 =155,4 ф. ст.

Пример 2.2

Коммерческие банки С и В начисляют доход один раз в полгода, причем банк С по простой ставке, а банк В по сложной ставке процентов. Через год в этих банках средства инвестора увеличиваются на 60 %. В какой банк выгоднее положить деньги на полгода и в какой на полтора года?

Решение. По условию задачи коэффициенты наращения банков С и В равны, поэтому k = kC =1, 6 . Откуда для банка С ставка простых процентов определяется из выражения: k =1 + ni =1 + 2i =1, 6 ,

отсюда i = 1, 6 −1 = 0, 3 . 2

Для банка В ставка сложных процентов составляет:

Из таблицы следует, что, например, на полтора года (как и вообще на любой срок свыше года) выгоднее положить деньги в банк В, поскольку kC = 2,02 > k = 1,9.

Пример 2.3

М. Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович… сидит у себя

21

в кабинете, исписывая цифирными вкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька… подаренные ему при рождении дедушкой… на зубок, сто рублей… не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: восемьсот рублей…».

Определите сложную ставку процентов годовых ломбарда по вкладам, если Порфирию в момент его расчетов было 50 лет.

Решение. Из условия задачи имеем: n = 50; S0 = 100 руб.; ST = 800 руб. По формуле сложных процентов наращенная

сумма равна: ST = S0 (1+i)n , откуда ставка сложных процентов составит:

i = n ST −1 = 50 800 −1 = 0, 0425 = 4,25 %. S0 100

Пример 2.4

Знаменитый американский ученый и государственный деятель Бенджамин Франклин завещал жителям города Бостона

1000 ф. ст. на следующих условиях:

—деньги давать под 5 % годовых молодым ремесленникам;

—через 100 лет из накопленных денег (с учетом процентов на проценты) 100 000 ф. ст. пустить на строительство общественных зданий;

—оставшиеся после этого деньги отдать под те же проценты еще на 100 лет;

—по истечении этого срока накопленную сумму разделить между бостонскими жителями и правлением Масачусетской общины, которой передать 3 млн. ф. ст.

Сколько денег должно было достаться бостонским жителям через 200 лет после смерти Б. Франклина (он умер в 1790 г.)?

Решение. Из условия задачи имеем: S0 = 1 000 ф. ст. при i =5 %; n = 100 лет.

1. Завещанный капитал через 100 лет составил:

ST = 1 000 (1 + 0,05)100 = 131 501 ф. ст.

22

2. После выделения 100 000 ф. ст. на постройку общественных зданий осталось:

131 501 – 100 000 = 31 501 ф. ст.

3. Через 100 лет наращенный капитал составил:

S = 31 501(1 + 0,05)100 = 4 142 421 ф. ст.

4. Бостонским жителям из этой суммы после вычета

3 млн ф. ст. осталось:

4 142 421 – 3 000 000 = 1 142 421 ф. ст.

Если число не целое, то может использоваться смешанный способ начисления процентов:

Здесь [T/Tгод] — целая часть числа. Если проценты начисляются только за целые периоды, то

Пример 2.5

Инвестор хочет поместить $100 000 на десять с половиной лет под сложную процентную ставку в 15 % годовых.

Решение. Начальная сумма S0 = 100 000; период возьмем Tгод = 365; соответственно число дней T = 3 832; процентная став-

ка i =15.

В зависимости от способа начисления процентов накопленная сумма будет составлять ST = 433 755 (см. (2.2)), ST = 434 814 (см. (2.3)), ST = 404 556 (см. (2.4)).

Как и в случае простой процентной ставки, сложная процентная ставка может изменяться в некоторые моменты време-

23

ни. Для начисления выплат по переменной сложной процентной ставке используется формула

Коэффициент наращения вычисляется по формуле

Пример 2.6

Контракт на ссуду в $1 000 000 000 на 20 лет предусматривает следующий порядок начисления процентов: первые 5 лет — под 8 % годовых, вторые 5 лет — под 10 % годовых, второе десятилетие — под 20 % годовых. Найти сумму процентов к выплате.

Решение. Используя формулу (2.5) S0 = 1 000 000 000;

примем Tгод = 365; соответствующие процентные ставки бу-

дут i1 = 8; i2 = 10; i3 = 20; за периоды времени t1 = 1 825; t2 = 1 825; t3 = 3 650. Конечные выплаты составят ST = 14 651 924 216; проценты по контракту составят P = $13 651 924 216.

При начислении сложных процентов m раз в году выплаты рассчитываются по формуле

Тm

ST = S0 1 + 100j m Тгод .

Ставку j в этом случае принято называть номинальной годо-

вой процентной ставкой.

Пример 2.7

Рассмотрим вложение в 1 000 дол. США под процентную ставку в 6 % годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Какая сумма денег будет на счете через 5 лет.

Решение. Общая сумма на счете по окончании 5 лет рассчитывается следующим образом: ST = S0 (1 + j/100m)nm, где

S0 = 1 000, j = 6 %, n = 5, m = 4 (4 периода, квартала, в году).

24

Отсюда ST = 1 000(1 + 6/100 × 4)4×5 = 1 000(1 + 0,015) = 1 000 × × 1,3469= 1 346,9 дол.

Сравните полученное значение с общей суммой на счете в случае, если проценты выплачиваются ежегодно. В этом слу-

чае ST = 1 000 (1 + 6/100)5 = 1 338,2 дол.

Ставка процента в годовом исчислении есть чистый процент, уплачиваемый за пользование кредитом или получаемый от инвестиции, в котором учитывается сложение процентов за несколько временны´ х периодов.

Мы рассмотрели задачу вычисления суммы годового сложного процента при ежеквартальном начислении процентов. Во многих случаях вложение приращивает сумму процентов ежемесячно, хотя указана только годовая ставка процента. Для таких вложений обязательно указание ставки процента в годовом исчислении, с тем чтобы можно было реально сравнить инвестиционные предложения или варианты кредитования.

Пример 2.8

Какой капитал следует поместить по сложным процентам по 5,25 % в год, чтобы через 93 года иметь 4 817 000 руб.?

Решение. Согласно формуле (2.1) начальная сумма

S0 = [4 817 000/((1+0,0525)93)] ≈ 41 316 руб.

Пример 2.9

На сколько лет следует поместить капитал в 3 000 руб., на сложные проценты по таксе 4 % с годовым периодом наращения, чтобы иметь 102 358 руб.?

Решение. Согласно формуле (2.1) период наращения

T = [(lnST – lnS0)/(ln(1+i))] ≈ 90 лет.

Пример 2.10

«Уникомбанк» предлагал кредиты частным лицам на сумму от 500 до 10 000 руб. на срок от 1 до 6 месяцев, процентные ставки по валютным кредитам — 30 % годовых, по рублевым кредитам — 38 % годовых, проценты выплачиваются заемщиком ежемесячно, погашение кредита — в конце

25

его срока кредита. Курс DM 1 : 3,5 руб., курс $ USA 1 : 6 руб. Определить показатели и оптимальную схему финансовой операции по кредиту на сумму 5 000 руб. сроком на 6 месяцев.

Решение. По условию задачи: i1 =30 %; i2 =38 %; начальный кредит в DM и долларах

Плата за кредит в рублях за один месяц P1 = 5 000(1 + + 0,38 / 12) – 5 000 = 158,33. Плата за кредит в DM за один месяц P2 = 1 428,57(1 + 0,3 / 12) – 1 428,57 = 35,7; плата за кредит в долларах за один месяц P2 = 833,33(1 + 0,3 / 12) – 833,33 = 20,83.

Плату за первые 6 месяцев можно свести в таблицу:

Плата в рублях за 6 месяцев DM214,2 × 3,5 = 749,7 руб. $124,98 × 6 = 749,88 руб.

Пример 2.11

Через сколько времени капитал, отданный под p%, удвоится? Решение. По условию задачи ясно, что надо разрешить сле-

дующее уравнение относительно t:

26