Тема 3

ДИСКОНТИРОВАНИЕ И УЧЕТ

Дисконтирование связано с распространенным в коммерческой сфере утверждением «время — это тоже деньги», что обусловлено не равноценностью одинаковых по абсолютной величине сумм денежных средств сегодня и через некоторое время в будущем. Это объясняется, например, возможностью инвестировать капитал сегодня и в будущем получить доход. Кроме того, инфляционный процесс обесценивает денежную массу. Поэтому можно утверждать, что «деньги сегодня» ценнее «будущих денег». Именно поэтому «золотое» правило бизнеса гласит: сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра. Дисконтирование позволяет учитывать в операциях фактор времени.

Обычно при удержании процентов в момент выдачи ссуды,

при учете векселей, при покупке депозитных сертификатов

возникает задача определения по заданной сумме ST, которую следует уплатить через время T, сумму получаемой ссуды S0 при заданной годовой процентной ставке i. В этой ситуации начальную сумму S0 принято называть современной величиной (приведенной стоимостью), ставку d — дисконтной или учетной про- центной ставкой, величину D = ST – S0 — дисконтом, а процедуру определения современной величины — дисконтированием.

Существует два способа дисконтирования при простой процентной ставке:

1) математическое дисконтирование

37

Математическое дисконтирование связано с определением так называемого «современного» или «приведенного» значения S0 на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению ST в другой момент времени. Простейшая задача связана с определением суммы вклада S0 на основе заданной конечной величины в будущем ST через временной период начис-

При дисконтировании обычно задают Tгод = 360. Банковский учет заключается в покупке денежных обяза-

тельств, например, векселя банком по цене, которая меньше номинальной указанной в нем суммы. В этом случае говорят, что

вексель учитывается, и клиент получает сумму: S0 = ST − D ,

где ST — номинальная сумма данного обязательства; S0 — цена покупки векселя банком; D — дисконт, сумма процентных денег (доход банка).

Процентный доход покупателя векселя банка может определяться по простой годовой учетной ставке:

составлять часть года, то дисконт определяется по формуле:

D = TT dST .

год

38

Следует заметить, что дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления, и заемщик получает сумму S0 за вычетом процентных денег D из суммы кредита ST, подлежащего возврату. Поэтому при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться формулой (3.2).

Пример 3.1

Через полгода заемщик должен уплатить 1 000 000 руб. Ссуда выдана под 40 % годовых. Найти объем получаемых денег в случае математического дисконтирования ипри банковском учете.

Для дисконтирования при сложной процентной ставке используется формула

при начислении процентов m раз в году.

Пример 3.2

Инвестиционное предложение состоит в фиксированной норме прибыли из расчета 8 % годовых в течение 5 лет. Давайте рассмотрим, какую сумму необходимо положить сейчас, чтобы по истечении указанного срока накопить 2 000 ф. ст.

Решение. Имеем ST = 2 000, i= 8 % и n = 5.

Следовательно, текущую стоимость можно вычислить следую-

щимобразом: S0 = ST / (1 + i / 100) n = 2 000 / (1+0,08)5 = 1361,17 ф. ст.

Итак, сейчас необходимо вложить 1 361,17 ф. ст., чтобы через 5 лет эта сумма превратилась в 2 000 ф. ст.

39

Для определения учетной ставки, дающей эквивалентный результат к математическому дисконтированию, достаточно приравнять современные величины при обоих способах дисконтирования и при одинаковой конечной сумме капитала и найти учетную ставку из возникшего уравнения

При проведении операции по сложной учетной ставке используется формула

Пример 3.3

Клиент имеет вексель на 10 000 руб., который он хочет учесть 01.03.1998 г. в банке по сложной учетной ставке, равной 7 %. Какуюсумму он получит, если срокпогашения векселя 01.08.1998 г.?

Решение. Срок от даты учета до даты погашения векселя равен: Т = 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 1 – 1 = 153 дня;

Число дней в году Тгод = 365 дней; ST = 10 000 руб.; d= 0,07. Клиент получит сумму:

Пример 3.4

Банк учитывает вексель за 2 года до срока его оплаты по простой учетной ставке d = 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход остался прежним?

Решение. По условию задачи n = 2 года; d = 0,06.

Доход банка D = ST – S0. При применении простой учетной ставки d:

T

D = Tгод dST .

40

При применении сложной учетной ставки dc:

D = ST (1 − (1 − dc )n ) .

По условию доход одинаковый, поэтому должно выполняться соотношение:

D = ST (1−(1−dc )n ) = ndST ,

следовательно, (1 – dс)2 = 1 – 2d,

dc =1− 1−2d =1− 1− 2 0,06 = 0,062 , т. е. сложная учет-

ная ставка должна быть несколько больше, чем простая.

В финансовых операциях используется также и номинальная годовая учетная ставка, по которой при начислении m раз в году можно определить

Пример 3.5

Банк учитывает вексель по номинальной учетной ставке f = 8 % с начислением процентов 3 раза в году и желает перейти к сложной учетной ставке dc. Какой величины должна быть ставка dc, чтобы доходбанканеизменился?

Решение. Из условия задачи f = 0,08 %; m = 3. Обозначим число лет за n. Чтобы доход не менялся, выданная банком сумма S0 должна быть одинакова. В случае номинальнойучетнойставки d

41

т. е. сложная учетная ставка будет меньше номинальной.

В теоретических финансовых расчетах часто используется

непрерывное начисление процентов. При этом годовая процент-

ная ставка δ называется силой роста и может задаваться как постоянной, так и зависящей от времени. Выплаты при переменной силе роста рассчитываются по формуле

n

∫δdt

ST = S0e0 .

При линейном изменении силы роста от времени множитель наращения имеет вид

где α — начальное значение силы роста, β — прирост силы роста.

При экспоненциальном изменении силы роста от времени множитель наращения имеет вид

Начальную сумму для рассмотренных случаев можно переписать в виде

Начальная сумма при постоянной силе роста рассчитывается по формуле

S0 = SТe−дn .

42

Связь дискретных ставок i и j с силой роста δ находится из равенства множителей наращения дискретных и непрерывных ставок т. е.

Решив эти уравнения, получим

д = ln(1 + ic ) , д = m ln 1 + mj .

Пример 3.6

Наращенная сумма в течение 3,5 лет составляет 30 000 руб. Найти первоначальную сумму и силу роста при условии, что проценты начисляются по сложной годовой ставке 22 %. Вычислить наращеннуюсумму при непрерывном начислении процентов.

Решение. Сила роста δ = ln(1 + i) = ln1,22 = 0,19885084. Пер-

воначальная сумма составит

Наращенная сумма при непрерывном начислении процентов

составит ST = S0eдn =14 957,6е3,5 0,19885084 = 300 000 руб.

Таким образом, наращенные суммы при дискретном и непрерывном начислении совпадают.

В целом вычисления с применением дисконтирования могут быть сложны, и для облегчения вычислений могут использоваться таблицы дисконтирования. В этих таблицах приведены дисконтирующие множители, соответствующие различным процентным ставкам в зависимости от временно´го периода. Так, ниже в таблице приведены дисконтирующие множители для процентных ставок от 4 до 10 % и для периодов от 1 года до 5 лет.

43