4. 1.4. Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда

Работа А, совершаемая кулоновскими силами при малом перемещенииточечного зарядаqв электростатическом поле:

,

где напряжённость поля в месте нахождения зарядаq. Работа кулоновской силы при перемещении зарядаqиз точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории движения заряда (т.е. кулоновские силы являются консервативными силами). Работа сил электростатического поля при перемещении зарядаqвдоль любого замкнутого контураLравна нулю. Это можно записать в видетеоремы о циркуляциивектора напряженностиэлектростатического поля.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю:

.

Это соотношение, выражающее потенциальный характер электростатического поля, справедливо как в вакууме, так и в веществе.

Работа А, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного зарядаqв электростатическом поле, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в поле:

А= - dW_П и А₁₂= - W_П = W_П1 - W_П2,

где W_П1иW_П2значения потенциальной энергии зарядаqв точках 1 и 2 поля. Энергетической характеристикой электростатического поля служит его потенциал.

Потенциаломэлектростатического поля называется скалярная физическая величина, равная потенциальной энергииW_Пположительного единичного точечного заряда, помещённого в рассматриваемую точку поля, В.

.

Потенциал поля точечного заряда qв вакууме

.

Принцип суперпозиции для потенциала

,

т.е. при наложении электростатических полей их потенциалы складываются алгебраически.

Потенциал поля электрического диполя в точке С (рис. 1.2)

.

Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то потенциал их поля в вакууме:

.

Интегрирование проводится по всем зарядам, образующим рассматриваемую систему.

Работа А₁₂, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного зарядаqиз точки 1 поля (потенциал₁) в точку 2 (потенциал₂):

А₁₂ = q (₁ - ₂).

Если ₂= 0, то.

Потенциал какой-либо точки электростатического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещении положительного единичного заряда из данной точки в точку поля, где потенциал принят равным нулю.

При изучении электростатических полей в каких-либо точках важны разности, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется только удобством решения данной задачи. Связь между потенциалом и напряжённостью имеет вид

Е_х=,Е_у=,Е_z=и,

т.е. напряжённость электростатического поля равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциала.

Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциалов одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью.Если векторнаправлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, тои. Это означает, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности в каждой точке, т.е.E = E_n.

5. 1.5. Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей

Поле заряда q, равномерно распределённого по поверхности сферы радиусом R с поверхностной плотностьювыражается формулами:

если r > R, то = qи Е _r = .

если r < R, то= 0 иЕ _r= 0.

Из связи между потенциалом и напряжённостью поля следует, что. Полагая =0 приr, получим для потенциала поля вне сферы (rR):

.

Внутри сферы (r<R) потенциал всюду одинаков:

 = R/₀.

Графики зависимостей E _rиотrприведены на рис. 1.4.

Поле заряда q, равномерно распределённого в вакууме по объёму шара радиусом R с объёмной плотностьювыражается формулами:

если r>R, то= qи;

если r<R, то

и .

Из связи иследует, что дляr>R,

для r<R = (R)-и.

Графики зависимостей Е _rиотrприведены на рис. 1.5.

Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме по плоскости с поверхностной плотностью .

Эта плоскость (х=0) является плоскостью симметрии поля, вектор напряжённости которого направлен перпендикулярно плоскости от неё (если>0) или к ней (если < 0).

Для всех точек поля

.

Так как , и полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости (х= 0), получим

.

Графики зависимостей Еиотxприведены на рис. 1.6.