32. Примеры решения задач

1. Квадратная рамка со стороной а=2 см, содержащая 100 витков, подвешена на упругой нити с постоянной крученияС=10 мкНм/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке токаI=1А она повернулась на угол=60^о.

Решение

Рамка будет находиться в равновесии, когда результирующий момент сил, действующий на рамку, равен нулю, т.е., гдеМ₁момент сил, действующих на рамку с током со стороны магнитного поля;М₂ момент упругих сил.

М₁ = р_m B sin ,

где р _m = NIS = NIa^магнитный момент рамки;В индукция магнитного поля; угол между вектороми нормалью к плоскости рамки. Как видно из рисунка, угол=90– =30.

М₂=С.

Из условия равновесия

Ia²NB sin  - С = 0,

откуда

B = С/(Ia²NB sin ).

Подставим числовые значения:

В= 10 ^-360 / 141000,5 = 30 мТл.

2. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом R=80 см. Определить силу тока в проводнике, если известно, что в точке А магнитная индукцияB= 12,5 мкТл.

Решение

По принципу суперпозиции индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных бесконечно длинным проводником с токомI(В₁) и круговым током в его центре (В₂):

.

Векторы В₁иВ₂на рисунке в точке А будут направлены в одну сторону перпендикулярно плоскости рисунка от нас, тогда можно записать

,

откуда

.

Подставим числовые значения:

А.

3. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀=5 А. Сторона рамки 8 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое вn= 1,5 раза больше стороны рамки. Найти поток векторачерез поверхность рамки.

Решение

Прямой проводник с током создает вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией

,

которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. Направление вектора индукции будет совпадать с направлением нормали к рамке. Так как магнитное поле неоднородное, поверхность, ограниченную рамкой, разобьём на элементарные площадки dS = adr, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной величиной (см. рисунок). Тогда поток магнитной индукции (магнитный поток) через элементарную площадку

dФ _m = B·dS·cos 0 = Bаdr =  ₀I₀ ·a·dr/(2r).

Полный поток вектора через поверхность рамки

.

Подставим числовые значения:

Ф_m= 410^–750,08(ln2)/2= 5,54510^–8Вб.

4. Между полюсами электромагнита требуется создать магнитное поле с индукциейВ=1,4 Тл. Длина железного сердечникаl₁=40 см, длина межполюсного пространстваl₂=1 см, диаметр сердечникаD=5 см. Какую ЭДС нужно взять для питания обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя медную проволоку площадью поперечного сеченияS=1 мм ²? Какая будет при этом наименьшая толщинаbнамотки, если считать, что предельно допустимая плотность токаj=3 МА/м ²?

Решение

Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то магнитный поток и индукция магнитного поля в сердечнике и в воздушном зазоре одинаковы: В₁=В₂. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора(т.к. циркуляцияопределяется только макротоками и не зависит от наличия или отсутствия магнетика). Выберем замкнутый контур вдоль силовой линии и вычислим циркуляцию вектора напряжённости:

,

где Н₁иН₂- напряжённости магнитного поля в сердечнике и вне его;l₁иl₂– длина железного сердечника и межполюсного пространства.

Так как H₂ = B₂/₀ = B₁/₀, то

H₁l₁ + B₁l₂/₀ = NI. (1)

Поскольку величина В₁известна по условию задачи, то величинуН₁найдём из графика зависимостиВ = В(H)(прил. 1):

при В= 1,3Тл,Н= 800 А/м.

Из уравнения (1) определим число ампер-витков электромагнита:

(NI)= 8000,4 + 1,30,01/(43,1410^–7) = 1,0710⁴А-вит.

Величину ЭДС вычислим по закону Ома:

 = IR_пров = Il _пров/S = IDN / S = IDN / S.

Подставим числовые значения:

 = 1,710^–83,140,051,0710⁴/10^–6=29В.

Для определения толщины обмотки нужно знать общее число витков Nи число витковN₁в одном слое обмотки.

N₁ = l₁/d,

где l₁– длина сердечника;d – диаметр провода обмотки:d=, тогда

N₁=l₁/= 0.4 /= 354 витка .

Зная число ампер–витков и предельно допустимое значение силы тока (I=jS), определим общее число витковN

N= (NI)/(jS) = 1,0710 ⁴/ (310⁶10^–6) = 3567витков.

Число слоёв

k=N/N₁= 3567/35410.

Тогда толщина обмотки

b = dk = k = 10 = 11,310 ^-3 м  11 мм.

5. Квадратная рамка с током I=1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с токомI₀=5 А. Сторона рамки 10 см. Ось рамки, проходящая через середины противоположных сторон, параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое вn = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

1. силу, действующую на рамку;

2. работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.