Решение

Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции

 = – dФ/dt, (1)

где в данном случае

dФ = BdS = Bldt . (2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

 = – Bl.

Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома

I =  / R = – (Blv)/R.

Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении

P = I²R = B²l²²/R.

Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:

P = B²l²²/R= 10,01400/0,4 = 10 Вт.

8. Две катушки равномерно намотаны на цилиндрический сердечник, длина которого много больше диаметра. Индуктивность первой катушки 0,2 Гн, второй- 0,8 Гн. Сопротивление второй катушки 600 Ом. Какой ток потечёт по второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение времени 0,001 с.

Решение

Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке

I₂ = ₂/R₂. (1)

Величина ₂зависит от взаимной индуктивностиL₁₂и быстроты изменения силы токаI₁

 ₂ = –L₁₂dI₁/dt = –L₁₂I₁/t = –L₁₂(I₁ – I₀₁)/t. (2)

Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник, рассчитывается по формуле

L₁₂ = ₀n₁n₂lS. (3)

Собственные индуктивности

L₁ = ₀n₁²lS, (4)

L₂ = ₀n₂²lS, (5)

поэтому, учитывая выражения (3), (4), (5), получаем

L₁₂ =. (6)

Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат - в выражение (1), получаем:

I₂ = (L₁₂I ₀₁)/R₂ = (I₀₁)/R₂t.

I₂== 0,2 А.

9. На тороид квадратного поперечного сечения намотано 1000 витков провода. Внутренний радиус тороида равен 0,1 см, внешний - 0,2 см. Магнитная проницаемость тороида равна100. По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1 À. Определить энергию магнитного поля внутри тороида.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:

,

где L индуктивность,I сила тока, протекающего в индуктивности.

Потокосцепление, согласно определению индуктивности, рассчитывается как

 = LI,  = NФ_m,

где Ф_mмагнитный поток через поперечное сечениеSтороида.

,

где rрасстояние от центра тороида до площадкиdS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадкиh = (r ₂ - r ₁), а ширинаdr. Поэтому

.

Тогда индуктивность тороида

L ==₀N ² (r₂ - r₁)ln.

Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем

.

W_m= 100410^–710⁶10^–31ln2 /(4) = 6,9 мДж.

2. Энергия магнитного поля W_mсвязана с плотностью энергииw_mсоотношением:

W_m = ,

где w _m = ₀Н ²/2.

Внутри тороида

Н = NI/l = NI/2r.

Выберем в качестве элемента объема dVобъем цилиндрического слоя радиусомr, высотойh=(r₂ - r₁)и толщинойdr(в пределах этого слоя величинаНпостоянна). Запишем выражение дляdV=(r₂ – r₁)2r·drи подставим в выражение для энергииW_m. Получаем

W _m =  ₀N ² I ²(r ₂ - r ₁)ln.

Подставим числовые значения и получим:

W= 6,9 МДж.

Как видим, оба решения дают одно и то же значение.

Примечание: если в условии задачи величинане задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величинанаходится по графику зависимостиВ = В(Н)(прил. 1) как

 = В/ ₀Н.

В качестве величины Нпринять значениеНв центральной точке поперечного сечения тороида.