53. Операции над логическими автоматами: суперпозиция и введение обратной связи.

Пусть имеется два автомата, один из которых вычисляет автоматную функцию f₁, а другой – функциюf₂. Если выход первого автомата подключить ко входу второго, то полученный автомат будет вычислятьсуперпозициюf₂(f₁). Очевидно,суперпозиция автоматных функцийсама является автоматной функцией. Её каноническую систему можно получить из канонических систем исходных функций.

Пример 1.Автоматные функцииf₁иf₂заданы соответственно каноническими системами

Требуется получить каноническую систему и нарисовать схему из функциональных элементов и элементов единичной задержки для автомата, вычисляющего суперпозицию f₂( f₁).

Схемы автоматов, вычисляющих функции f₁иf₂, приведены на рисунке. В первой схеме используется функциональные элементы инвертор и конъюнктор, а во второй – дизъюнктор. Кроме того, прямоугольником на схемах обозначены элементы единичной задержки. Надписи около их входов и выходов указывают, что в началеt-го такта им на вход поступает сигналq(t), «выталкивая» при этом на выход сигналq(t – 1).

На нижнем рисунке представлена схема автомата, вычисляющего суперпозицию f₂(f₁). Он имеет два входа и один выход и получается в результате последовательного соединения исходных автоматов.

Каноническая система полученного автомата имеет вид

Она получается в результате объединения двух исходных систем. При этом из первой системы удалено первое уравнение, aего правая часть подставлена вместо х(t) во вторуюcистему. Кроме того, полученная каноническая система содержит две функции переходов.

Определение.Говорят, что автоматная функцияfзависит с запаздыванием от аргумента х₁, если для любого набора изnвходных последовательностейи любого момента времениtэлементy(t) выходной последовательности= fне зависит от элементаx₁(t) входной последовательности.

Если имеется автомат, вычисляющий сразу т автоматных функций f₁,f₂,…,f_т, каждая из которых зависит от п аргументов х₁, х₂,…, х_n, и при этомf_jзависит от х_kс запаздыванием, то в этом автомате можноввести обратную связьпо паре переменных (f_j, х_k). Операция введения обратной в данном случае заключается в том, что сигнал сj-го выхода направляется наk-й вход. В результате получается автомат, вычисляющий (m– 1) автоматных функций от (n– 1) аргументов.

Пример.Рассмотрим автомат, схема которого изображена на рисунке. Он вычисляет две функцииf₁иf₂от двух аргументов х₁и х₂. Убедившись, чтоf₂зависит от х₁с запаздыванием, требуется ввести обратную связь по паре переменных (f₂, х₁) и написать каноническую систему полученного автомата.

Прежде всего запишем каноническую систему исходного автомата. Она имеет вид

Поскольку переменная х₁(t) является фиктивной для булевой функции у₂(t), то автоматная функция f₂ зависит от х₁ с запаздыванием. Следовательно, можно ввести обратную связь по паре переменных ( f₂, х₁). В итоге получим автомат с одним входом и одним выходом. Поскольку в ней присутствуют два элемента единичной задержки, то полученный автомат имеет не более четырех состояний. Его каноническая система имеет вид

Она получается из исходной канонической системы, если в ней всюду х₁(t) заменить правой частью уравнения для у₂(t), а само это уравнение удалить из системы.

47