15. Теорема о пяти красках, гипотеза четырех красок, «жадный» алгоритм.

Определение. Графом G называется пара (V, E), где – непустое множество вершин графа, а– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Говорят, что вершины графа G правильно раскрашены с помощью цветов {c₁, c₂,…, c_r}, если каждой вершине поставлен в соответствие некоторый цвет, причем любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета.

Теорема о пяти красках. Для правильной раскраски вершин любого планарного графа достаточно пяти цветов.

Гипотеза четырех красок.Теорема о пяти красках была доказана в 1890 г. Но ещё раньше, в 1879 г., было высказано предположение о том, что для правильной раскраски вершин планарного графа достаточно четырех красок (так называемая «гипотеза четырех красок»). Долгое время оно так и оставалось гипотезой, и лишь в 1976 г., было получено его доказательство. В настоящее время не все математики считают это доказательство строгим, поскольку оно содержит перебор большого количества графов, который был осуществлен авторами доказательства с помощью компьютера. Снизить количество цветов в «гипотезе четырех красок» до трех цветов нельзя, так как существуют планарные графы, напримерК₄, для правильной раскраски вершин которых уже недостаточно трёх цветов.

«Жадный» алгоритм.Все известные точные алгоритмы поиска минимального числа красок, достаточного для правильной раскраски его вершин, являются переборными, поэтому их сложность быстро возрастает одновременно с ростом числа вершин в графе. Однако есть «жадные» алгоритмы, которые достаточно эффективны, но иногда «завышают» ответ. Пример «жадного» алгоритма:

• Нумеруем вершины графа числами 1, 2, 3… n.

• В цикле просматриваем вершины в порядке возрастания их номеров, начиная с первой. Если очередная вершина не покрашена, то красим ее в текущий цвет. Если после этого остались непокрашенные вершины, то берем новый цвет и снова проходим по вершинам, крася их.

16. Хроматический многочлен, его нахождение и свойства.

Определение. Графом G называется пара (V, E), где – непустое множество вершин графа, а– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Говорят, что вершины графа G правильно раскрашены с помощью цветов {c₁, c₂,…, c_r}, если каждой вершине поставлен в соответствие некоторый цвет, причем любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета.

Определение. Хроматическим числом графа называется минимальное число красок, достаточное для правильной раскраски его вершин.

Определение. Хроматическим многочленом графа G называется многочлен P(G,x), который при каждом целом неотрицательном значении х равен количеству различных способов правильной раскраски вершин графа G с использованием не более х фиксированных цветов.

Хроматический многочлен легко получить для нулевого и для полного n-вершинного графа. Действительно, P(О_n,x) = хⁿ, поскольку каждую вершину можно покрасить любым из х цветов, независимо от остальных вершин, и все эти раскраски будут правильными. Для полного графа P(K_n,x) = x(x – 1)(x – 2)…(x – n + 1), так как первую вершину можно покрасить любым их х цветов, вторую – любым из х – 1 цветов, третью – любым из х – 2 цветов и т.д.

Утверждение 1. Пусть T_n – произвольное n-вершинное дерево. Тогда P(T_n,x) = x(x – 1)^n – 1.

Имеется алгоритм, позволяющий находить хроматический многочлен для графа с произвольной структурой. Он основан на следующем утверждении.

Утверждение 2. Пусть u и v - несмежные вершины графа G, граф получен путем добавления ребра[u,v] в графе G, а граф – отождествлением вершинu и v в графе G. Тогда выполняется тождество P(G, x) = P(,x) + P(,x).

G

Пример. Найдем хроматический многочлен графа, изображенного на рисунке. Согласно тождеству (1) P(G, x) = P(,x) + P(,x), где = K₄, а = K₃. Таким образом, P(G, x) =.

Хроматический многочлен графа содержит некоторую дополни­тельную информацию о самом графе. А именно:

• степень хроматического многочлена равна числу вершин;

• если степень хроматического многочлена равна n, то коэффициент при хⁿ равен 1, а коэффициент при х^n – 1 равен (– m), где m – количество ребер в графе G;

• знаки коэффициентов хроматического многочлена череду­ются;

• хроматическое число графа на единицу больше максимального корня его хроматического многочлена;

• хроматический многочлен обращается в нуль при всех целых не­отрицательных значениях х, меньших хроматического числа графа.