49. Эквивалентные состояния автомата-преобразователя, эквивалентные автоматы- преобразователи, минимизация автоматов- преобразователей, алгоритм Мили.

Особый интерес представляет автомат с наименьшим числом состояний, т.к. он имеет самое простое описание. Задача построения такого автомата называется задачей минимизации автомата.

Определение.Состоянияv_kиv_iавтоматов Т и Т΄соответственно называются эквивалентными, если для любого входного слова γА^*выходные слова Т(γ, v_k) и Т΄(γ, v_i) совпадают.

Определение.Два автомата с общими входным и выходным алфавитами называются эквивалентными, если для каждого состояния первого автомата найдется эквивалентное ему состояние второго автомата, и наоборот.

Определение.Автомат называется минимальным, если все его состояния попарно неэквивалентны.

Задача минимизации состоит в построении минимального автомата, эквивалентного заданному. Очевидно, такой минимальный автомат существует для любого детерминированного конечного автомата. Чтобы его найти, сначала используют алгоритм Мили, позволяющий разбить все состояния исходного автомата на классы эквивалентности, а затем каждый класс эквивалентности объявляют состоянием искомого минимального автомата и получают его функции выходов и переходов.

Пусть имеется автомат-распознаватель Rс множеством заключительных состоянийF. ЧерезR(γ, v_k) обозначим состояние, в котором окажется автомат, если он начинает работу над входным словом γА^*в состоянииv_k.

Определение.Состоянияv_kиv_iавтоматовRиR΄называются эквивалентными, если для любого входного слова γА^*либо оба состоянияR(γ, v_k) иR΄(γ, v_i) одновременно являются заключительными, либо незаключительными.

Состояния v_kиv_iследует считать неэквивалентными, если найдется такое входное слово γА^*, для которого только одно из состоянийR(γ, v_k) иR΄(γ, v_i) заключительное. Говорят, что такое входное слово позволяет различить состоянияv_kиv_i.

Эквивалентность двух автоматов-распознавателей означает совпадение языков, которые они распознают.

Используя с небольшими изменениями алгоритм Мили, все состояния автомата-преобразователя можно разбить на классы эквивалентности. Отличие состоит в том, что на первом этапе множество состояний Vразбивается всегда на два класса – множествоFзаключительных состояний и множествоV\Fвсех остальных состояний. После окончательного разбиения множестваVна классы эквивалентности можно решить задачу минимизации заданного автомата.

50. Детерминированные и недетерминированные функции, примеры, способы задания.

Определение.ФункцияfF_kназывается детерминированной, если для любого натуральногоtи любых двух последовательностейтаких, что, у соответствующих последовательностейипервыеtэлементов тоже совпадают, т.е..

Если функция является детерминированной, то для каждого tзначение элемента у(t) однозначно определяется «прошлыми» входными значениями х(1), х(2),…, х(t– 1) и «настоящим» значением х(t), но не должно зависеть от «будущих» значений х(t+ 1), х(t+ 2), … .

Определение.Количество классов эквивалентности вершин в бесконечном дереве детерминированной функции называется весом этой функции.

51. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции, способы их задания.

Определение.Количество классов эквивалентности вершин в бесконечном дереве детерминированной функции называется весом этой функции.

Определение.Детерминированная функция из классаF_k называется автоматной (или ограниченно-детерминированной) функцией, если она имеет конечный вес.

Автоматную функцию можно задать диаграммой Мура. Число вершин в ней равно весу автоматной функции, а сама диаграмма получается из конечного дерева с помощью отождествления в нем эквивалентных вершин.

Пример.Пусть требуется найти вес и построить диаграмму Мура автоматной функцииfF₂, выходная последовательность которой задана равенством у(t) =

Заметим, что в данном случае х(t), у(t){0, 1}.

На рисунке изображены четыре нижних яруса вершин бесконечного дерева, задающего функцию f.

Все дуги помечены парой чисел x(t), у(t). Кроме того, каждая вершина имеет числовую метку 0 или 1. Вершины с одинаковой меткой принадлежат одному классу эквивалентности, причем нулем помечен корень исходного дерева и все эквивалентные ему вершины. Таким образом, заданная функция имеет вес, равный двум. Следовательно, она является автоматной функцией и может быть задана конечным деревом. В нем должно быть ровно по одной внутренней вершине из каждого класса эквивалентности. Все остальные его вершины должны быть концевыми. Такое конечное дерево всегда позволит восстановить исходное бесконечное дерево. Конечное дерево, задающее автоматную функцию из примера 2, представлено на рисунке.

Теперь, чтобы получить диаграмму Мура для заданной автоматной функции, нужно в конечном дереве отождествить вершины с одинаковыми метками. В данном случае диаграмма Мура будет иметь две вершины и четыре дуги . Следовательно, существует конечный детерминированный автомат, способный вычислять заданную автоматную функцию. Начальным состоянием является 0.

Всякую автоматную функцию можно задать канонической системой уравнений вида

где функция Y – это функция выходов, Q – функция переходов, q(0) – начальное состояние автомата, вычисляющего данную автоматную функцию, а q(t – 1) и q(t) – состояния, в которых оказывается этот автомат соответственно в начале и в конце t-го такта. При этом предполагается, что множество состояний автомата V = {0, 1, 2, …, r – 1}. Функцию, рассмотренную в примере, можно задать канонической системой гдех(t), у(t), q(t){0, 1}.