Дискретная математика

Оглавлени

Дискретная математика 1

Теория графов 3

1. Основные понятия теории графов, удаленность вершины, центр, радиус и диаметр графа. 3

2. Способы задания графов, свойства матриц смежности и инциденций, теорема о рукопожатиях. 3

3. Основные операции над графами, неравенства для числа вершин, ребер и компонент связности графа. 4

4. Типы графов, дополнительные графы, двудольные графы, критерий двудольности. 5

5. Обходы графов: эйлеровы цепи и циклы, необходимые и достаточные условия их существования, алгоритм Флери. 5

6. Обходы графов: гамильтоновы цепи и циклы, достаточные условия их существования. 5

7. Деревья, их свойства, кодирование деревьев, остовные деревья. 6

8. Экстремальные задачи теории графов: минимальное остовное дерево, алгоритмы Прима и Краскала. 6

9. Экстремальные задачи теории графов: задача коммивояжера, «жадный» алгоритм 7

10. Экстремальные задачи теории графов: задача о кратчайшем пути, алгоритм Дейкстры. 7

11. Изоморфизм и гомеоморфизм графов, методы доказательства изоморфности и неизоморфности графов. 7

12. Плоские укладки графов, планарные графы, критерий Понтрягина-Куратовского. 8

13. Необходимые условия планарности, формула Эйлера для планарных графов. 8

14. Правильные вершинные раскраски графов, хроматическое число, неравенства для хроматического числа. 8

15. Теорема о пяти красках, гипотеза четырех красок, «жадный» алгоритм. 9

16. Хроматический многочлен, его нахождение и свойства. 9

17. Задача о поиске выхода из лабиринта, реберная раскраска графа. 10

18. Ориентированные графы, источники и стоки, топологическая сортировка, алгоритм Демукрона. 10

19. Составление расписания выполнения комплекса работ в кратчайшие сроки методами теории графов. 10

Теория булевой алгебры 11

20. Элементарные булевы функции и способы их задания (табличный, векторный, формульный, графический, карта Карно). 11

21. Существенные и фиктивные переменные булевых функций, основные тождества, эквивалентные преобразования формул. 12

22. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов. 13

23. Линейные и нелинейные полиномы Жегалкина, разложение булевых функций в полином Жегалкина методом эквивалентных преобразований. 13

24. Разложение булевых функций в СДНФ и СКНФ. 14

25. Минимизация ДНФ и КНФ методом эквивалентных преобразований. 14

26. Минимизация ДНФ и КНФ с помощью карт Карно. 15

27. Замкнутые классы булевых функций Т₀, Т₁, L, лемма о нелинейной функции. 15

28. Замкнутые классы булевых функций S и М, леммы о несамодвойственной и немонотонной функции. 16

29. Полная система функций, теорема о двух системах булевых функций. 16

30. Теорема Поста о полноте системы булевых функций, алгоритм проверки системы на полноту, базис. 17

31. Схемы из функциональных элементов, правила построения и функционирования, метод синтеза СФЭ, основанный на СДНФ и СКНФ. 17

32. Метод синтеза СФЭ, основанный на компактной реализации всех конъюнкций с помощью универсального многополюсника, сложность получаемых схем. 17

Элементы комбинаторики 18

33. Основные комбинаторные операции, сочетания и размещения (с возвращением и без возвращения элементов). 18

34. Комбинаторные принципы сложения, умножения, дополнения, включения-исключения. 19

35. Биномиальные коэффициенты, их свойства, бином Ньютона. 19

36. Треугольник Паскаля, полиномиальная формула. 19

Теория кодирования 20

37. Алфавитное кодирование: необходимое и достаточные условия однозначности декодирования. 20

38. Алфавитное кодирование: теорема Маркова, алгоритм Маркова. 21

39. Коды с минимальной избыточностью (коды Хаффмана), метод построения. 22

40. Линейные коды, порождающая матрица, двойственный код. 23

41. Самокорректирующиеся коды (коды Хэмминга), метод построения. 23

Теория автоматов 24

42. Определение, схема и функционирование абстрактного автомата, способы задания автоматов. 24

43. Типы конечных автоматов, автоматы Мили и Мура, автоматы-генераторы. 26

44. Слова и языки, операции над ними, их свойства. 26

45. Регулярные выражения и регулярные языки, теорема Клини. 27

46. Задача анализа автоматов-распознавателей. 28

47. Задача синтеза автоматов-распознавателей. 29

48. Эквивалентные состояния автомата-распознавателя, эквивалентные автоматы-распознаватели, минимизация автоматов-распознавателей, алгоритм Мили. 31

49. Эквивалентные состояния автомата-преобразователя, эквивалентные автоматы- преобразователи, минимизация автоматов- преобразователей, алгоритм Мили. 33

50. Детерминированные и недетерминированные функции, примеры, способы задания. 33

51. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции, способы их задания. 34

52. Логические автоматы, способы их задания, синтез двоичного сумматора. 35

53. Операции над логическими автоматами: суперпозиция и введение обратной связи. 36

Теория графов

1. Основные понятия теории графов, удаленность вершины, центр, радиус и диаметр графа.

Графом Gназывается пара (V,E), где– непустое множество вершин графа, а– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Пусть ребро е соединяет вершины uиv. В этом случае пишутe= [u,v] и говорят, что uиvявляются концами ребра е; вершины uиvсмежны; вершины uиvинцидентны ребру е, ребро е инцидентно вершинамuиv. Определение. Степенью вершины называется количество инци­дентных ей ребер. Определение. Вершина называется изолированной, если она не инцидентна ни одному ребру; вершина называется концевой, если ей инцидентно только одно ребро.

Рис.1

Утверждение. Если в графе количество вершинn≥ 2, то в нем найдутся хотя бы две вершины с одинаковой степенью.

Утверждение. Для любого графаG= (V,E) сnвершинами иmребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Определение. Последовательность ребер, в которой все ребра различны, называется цепью длиныk, соединяющей вершиныи. При этом вершиныиназываются концами цепи.

Определение. Расстоянием между вершинамиuиvназывается число, равное длине кратчайшей цепи, соединяющей вершиныuиv.

Определение. Эксцентриситетом вершиныuназывается число, равное максимальному расстоянию от вершиныuдо остальных вершин графа, т.е..

Определение. Радиусом графаGназывается числоr(G), равное минимальному эксцентриситету его вершин, т.е..

Определение. Диаметром графаGназывается числоd(G), равное максимальному эксцентриситету его вершин, т.е..

Известно, что для любого графа Gвыполняется соотношение.

Определение. Центром графаGназывается множество его вершин, имеющих минимальный эксцентриситет.

Пример 2. Рассмотрим графG, изображенный на рис.2. Эксцентриситеты его вершин: . Следовательно, его радиус и диаметр r(G) = 2,d(G) = 4, а центр – вершина.

Рис.2

2. Способы задания графов, свойства матриц смежности и инциденций, теорема о рукопожатиях.

Графом Gназывается пара (V,E), где– непустое множество вершин графа, а– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Способы представления графов:

• Текстовый

• Графический

• Матрицами

Определение. Матрицей смежностиn-вершинного графа называется квадратная матрицаразмераn, такая что

Матрица смежности любого графа обладает следующими свойствами:

• она симметрична относительно главной диагонали;

• на её главной диагонали стоят нули;

• сумма элементов i-й строки (i-го столбца) равнаdeg(v_i), т.е. количеству ребер, инцидентных вершинеv_i.

В матрице инциденций всегда выполнены следующие условия:

• сумма элементов любого её столбца равна двум;

• сумма элементов i-й строки равнаdeg(v_i).

Определение. Матрицей инциденцийn-вершинного графа сmребрами называется матрицаразмераnт, такая что

Для графа на рис.1 с указанной там нумерацией вершин матрица смежности имеет вид Если его ребра пронумеровать ,,,, то матрица инциденций этого графа будет иметь вид

Рис.1

Утверждение. Для любого графаG= (V,E) сnвершинами иmребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Теорема о рукопожатиях – в любом графе число вершин нечетной степени четно (если кто-то с кем-то обменялся рукопожатием, число «пожатых рук» четно).