discrete_math

Дискретная математика

Теория графов

1. Основные понятия теории графов, удаленность вершины, центр, радиус и диаметр графа.

Утверждение. Если в графе количество вершин n ≥ 2, то в нем найдутся хотя бы две вершины с одинаковой степенью. Утверждение. Для любого графа G = (V,E) с n вершинами и m ребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Определение. Последовательность ребер [v1, v2 ], [v2 , v3 ],..., [vk 1, vk ], [vk , vk 1] , в которой все ребра различны, называется

Рис.2

2. Способы задания графов, свойства матриц смежности и инциденций, теорема о рукопожатиях.

Графом G называется пара (V, E), где V v1,...,vn – непустое множество вершин графа, а E {e1, e2 ,...,em} – множество

ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин. Способы представления графов:

Текстовый

Графический

Матрицами

Матрица смежности любого графа обладает следующими свойствами:

она симметрична относительно главной диагонали;

3

на её главной диагонали стоят нули;

сумма элементов i-й строки (i-го столбца) равна deg(vi), т.е. количеству ребер, инцидентных вершине vi.

Вматрице инциденций всегда выполнены следующие условия:

сумма элементов любого её столбца равна двум;

сумма элементов i-й строки равна deg(vi).

Утверждение. Для любого графа G = (V,E) с n вершинами и m ребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Теорема о рукопожатиях – в любом графе число вершин нечетной степени четно (если кто-то с кем-то обменялся рукопожатием, число «пожатых рук» четно).

3. Основные операции над графами, неравенства для числа вершин, ребер и компонент связности графа.

ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Утверждение. Если в графе количество вершин n ≥ 2, то в нем найдутся хотя бы две вершины с одинаковой степенью. Утверждение. Для любого графа G = (V,E) с n вершинами и m ребрами справедливо равенство т.е. сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.

Кграфам или отдельным его элементам могут применяться следующие операции:

добавление ребра, соединяющего две несмежные вершины;

удаление ребра (концы ребра сохраняются);

добавление вершины;

удаление вершины (вместе с инцидентными ей ребрами);

отождествление двух несмежных вершин (все ребра, инцидентные отождествляемым вершинам, сохраняются и становятся инцидентными полученной вершине; если при этом возникают кратные ребра, они заменяются одним ребром);

подразбиение ребра [u,v] (сначала добавляются новая вершина w и новые ребра [u,w], [w,v], затем удаляется ребро

[u,v]);

стягивание ребра [u,v] (сначала удаляется ребро [u,v], а затем вершины u и v отождествляются);

Определение. Граф называется связным, если в нем любые две вершины соединены цепью.

Определение. Говорят, что граф состоит из k компонент связности, если его можно представить как объединение k связных графов, не имеющих общих вершин.

Определение. Мостом в графе называется ребро, при удалении которого увеличивается количество компонент связности этого графа.

Утверждение 2. Если n-вершинный граф состоит из k компонент связности, то количество его ребер m удовлетворяет неравенствам n k m 12 (n k)(n k 1) .

4

4. Типы графов, дополнительные графы, двудольные графы, критерий двудольности.

ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Полный n-вершинный граф (клика) – это граф, в котором любые две вершины соединены ребром (обозначается Kn );

Определение. Нулевой n-вершинный граф – это граф без ребер (обозначается On );

Определение. Граф называется связным, если в нем любые две вершины соединены цепью.

Определение. Двудольный граф – это граф, множество вершин которого можно так разбить на два непересекающихся подмножества (доли) V1 и V2 , что никакие две вершины из одной доли не смежны;

Утверждение. Критерий двудольности графа - необходимо и достаточно, чтобы в этом графе все циклы имели четную длину.

5. Обходы графов: эйлеровы цепи и циклы, необходимые и достаточные условия их существования, алгоритм Флери.

ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Эйлерова цепь – цепь, подразумевающая обход всех вершин через единичное прохождение каждого ребра, но не подразумевающая возврат в изначальную точку.

Определение. Эйлеров цикл – цикл, при котором происходит обход всех вершин через единичное прохождение каждого ребра.

Утверждение. Критерий существования эйлерова цикла - только тогда, когда в графе все вершины имеют четную степень; связность.

Утверждение. Критерии существования эйлеровой цепи - существует тогда и только тогда, когда в графе ровно две вершины имеют четную степень; связность.

Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым графом. Существует алгоритм Флери для построения эйлерового цикла в эйлеровом графе. Этот алгоритм нумерует ребра графа в порядке их прохождения, а сам порядок определяется следующей схемой:

Из произвольной начальной вершины по любому инцидентному ей ребру переходим в следующую вершину, нумеруем это ребро цифрой 1 и удаляем его.

Если очередной вершине инцидентно только одно ребро, то переходим по нему в следующую вершину, нумеруем это ребро очередным числом и удаляем его. Если же очередной вершине инцидентны несколько ребер, то среди них

обязательно найдется ребро, которое не является мостом в оставшемся графе. По этому ребру переходим в следующую вершину, нумеруем это ребро очередным числом и удаляем его. Этот этап повторяется до тех пор, пока не удалим все ребра графа.

Алгоритм заканчивает работу за конечное число шагов, равное количеству ребер в исходном графе. При этом номера ребер указывают, в каком порядке следуют ребра в эйлеровом цикле.

6. Обходы графов: гамильтоновы цепи и циклы, достаточные условия их существования.

Графом G называется пара (V, E), где V v1,...,vn – непустое множество вершин графа, а E {e1, e2 ,...,em} – множество

ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Гамильтонова цепь – цепь, соединяющая разные вершины графа и проходящая через каждую вершину графа ровно по одному разу (связность графа – необходимое условие наличия).

Определение. Гамильтонов цикл - цикл, соединяющий разные вершины графа и проходящий через каждую вершину графа ровно по одному разу (связность графа – необходимое условие наличия).

Утверждение. Достаточное условие существования гамильтонова цикла - если в связном n-вершинном графе, где n ≥ 3, степень каждой вершины deg(v) ≥ n/2, то в этом графе имеется гамильтонов цикл.

Утверждение. Если в связном n-вершинном графе, где n ≥ 3, степень каждой вершины deg(v) ≥ n/2, то в этом графе имеется гамильтонов цикл.

Определение. Граф, в котором имеется гамильтонов цикл, называется гамильтоновым.

5

– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Если задача состоит в том, чтобы найти экстремум (максимум или минимум) определенной функции от этих значений, то её принято называть экстремальной задачей.

Определение. Гамильтонов цикл - цикл, соединяющий разные вершины графа и проходящий через каждую вершину графа ровно по одному разу (связность графа – необходимое условие наличия).

Задача коммивояжера связана с поиском гамильтонова цикла в графе. Для ее решения разработаны приближенные алгоритмы, которые при одних входных данных дают правильное решение, а при других – «приближенное» с заранее известной погрешностью. Иногда этого свойства алгоритма бывает вполне достаточно для его практического применения. Рассмотрим один из них, относящийся к классу так называемых «жадных» алгоритмов. Он состоит в следующем:

пометить кратчайшее ребро графа (оно обязательно войдет в гамильтонов цикл, который в итоге будет построен);

среди непомеченных ребер найти кратчайшее, причем такое, которое вместе с уже помеченными ребрами не образует вершин степени три и циклов, состоящих менее чем из n вершин; пометить найденное ребро (этот шаг повторяется до тех пор, пока в дополнительном графе не образуется гамильтонов цикл).

10.Экстремальные задачи теории графов: задача о кратчайшем пути, алгоритм Дейкстры.

– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Если задача состоит в том, чтобы найти экстремум (максимум или минимум) определенной функции от этих значений, то её принято называть экстремальной задачей.

Задача о кратчайшем пути - поиск кратчайшего пути между двумя вершинами в предположении, что каждое ребро графа имеет определенную длину. Например, пусть имеется сеть дорог, соединяющих несколько населенных пунктов. Часто возникает задача найти такой путь для перевозки груза из пункта А в пункт В через другие промежуточные пункты, чтобы суммарная длина дорог, составляющих этот путь, была минимальна. Иногда требуется, чтобы такой путь обеспечивал минимальное время или минимальные затраты на перевозку груза из А в В. Всё это разные варианты задачи о кратчайшем пути. Схема алгоритма Дейкстры для решения задачи о кратчайшем пути такова:

1.найти вершину и1, ближайшую к вершине и0 (выбирается кратчайшее ребро, инцидентное вершине и0);

2.пусть уже найдены k самых близких к и0 вершин и1, и2,…, иk и известны величины d(и1), d(и2),…, d(иk) – их удаленности от вершины и0 (причем d(и1) ≤ d(и2) ≤ … ≤ d(иk)); тогда для каждой вершины и из множества V \{и0, и1, и2,…, иk} вычислить параметр D(и), задаваемый равенством D(и) = min{d(иi) + l (ui, u)},

3.где минимум берется по i = 0, 1, 2,…, k, а l (ui, u) – длина ребра [ui, u];

4.следующая вершина иk+1 – ближайшая к и0 среди всех вершин из множества V \{и0, и1, и2,…, иk} – находится из

условия D(иk+1) = min{D(и)}, где минимум ищется по всем вершинам и из множества V \{и0, и1, и2,…, иk};

5.положить d(иk+1) = D(иk+1).

Шаги 2 – 4 повторяются в цикле по k = 1, 2, 3,…, n – 1.

11. Изоморфизм и гомеоморфизм графов, методы доказательства изоморфности и неизоморфности графов.

Всякий граф можно изобразить на плоскости в виде точек и непрерывных линий, соединяющих эти точки. При этом один и

тот же граф может иметь бесконечно много различных изображений (укладок графа на плоскости).

Определение. Говорят, что взаимно однозначное соответствие между множествами вершин двух графов сохраняет смежность вершин, если любой паре смежных вершин первого графа соответствует пара смежных вершин второго.

Чтобы доказать, что два графа не изоморфны, надо найти какую-либо характеристику этих графов, по которой они различаются. Для графов сложной структуры с большим количеством вершин и ребер подобрать такую характеристику иногда бывает очень трудно. Поэтому проблема изоморфизма считается одной из самых сложных в теории графов.

Также установить изоморфизм двух графов можно и с помощью их матриц смежности. Для этого надо одну матрицу преобразовать в другую одновременной перестановкой некоторых её строк и столбцов. Однако если заранее не известно, изоморфны ли данные графы, такой способ проверки изоморфизма, так же как и перебор всех возможных вариантов взаимно однозначного соответствия между вершинами графов, требует большого объема вычислений.

7

Определение. Два графа называются гомеоморфными, если их можно получить из одного графа с помощью однократного или многократного применения операции подразбиения ребра.

12. Плоские укладки графов, планарные графы, критерий ПонтрягинаКуратовского.

Всякий граф можно изобразить на плоскости в виде точек и непрерывных линий, соединяющих эти точки. При этом один и

тот же граф может иметь бесконечно много различных изображений (укладок графа на плоскости).

Определение. Изображение графа на плоскости без внутренних точек пересечения ребер называется плоской укладкой графа.

Определение. Граф называется планарным, если существует его плоская укладка.

Утверждение 1 (необходимое условие планарности). Для любого связного планарного графа с n вершинами и m ребрами, где n ≥ 3, выполняется неравенство m 3n 6 .

Утверждение 2 (необходимое условие планарности). В любом планарном графе есть вершина, степень которой не

13. Необходимые условия планарности, формула Эйлера для планарных графов.

Всякий граф можно изобразить на плоскости в виде точек и непрерывных линий, соединяющих эти точки. При этом один и

тот же граф может иметь бесконечно много различных изображений (укладок графа на плоскости).

Определение. Изображение графа на плоскости без внутренних точек пересечения ребер называется плоской укладкой графа.

Определение. Граф называется планарным, если существует его плоская укладка.

Утверждение 1 (необходимое условие планарности). Для любого связного планарного графа с n вершинами и m ребрами, где n ≥ 3, выполняется неравенство m 3n 6 .

Утверждение 2 (необходимое условие планарности). В любом планарном графе есть вершина, степень которой не превосходит пяти.

Определение. Говорят, что граф состоит из k компонент связности, если его можно представить как объединение k связных графов, не имеющих общих вершин.

Формула Эйлера. Для всякого планарного графа справедлива формула Эйлера: n g m k 1, где n – количество вершин,

g – граней, m – ребер, k – компонент связности в исходном графе. Под гранями здесь понимаются связные области, на которые распадается плоскость, если провести «разрезы» по всем ребрам плоской укладки графа. Для связного планарного графа формулу Эйлера можно записать иначе: n g m 2 .

14. Правильные вершинные раскраски графов, хроматическое число, неравенства для хроматического числа.

Определение. Графом G называется пара (V, E), где V v1,...,vn – непустое множество вершин графа, а E {e1, e2 ,...,em}

– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Говорят, что вершины графа G правильно раскрашены с помощью цветов {c1, c2,…, cr}, если каждой вершине поставлен в соответствие некоторый цвет, причем любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета.

Утверждение 1. Для правильной раскраски вершин любого двудольного графа достаточно двух цветов.

8

Хроматический многочлен графа содержит некоторую дополнительную информацию о самом графе. А именно:

степень хроматического многочлена равна числу вершин;

если степень хроматического многочлена равна n, то коэффициент при хn равен 1, а коэффициент при хn – 1 равен (– m), где m – количество ребер в графе G;

знаки коэффициентов хроматического многочлена чередуются;

хроматическое число графа на единицу больше максимального корня его хроматического многочлена;

хроматический многочлен обращается в нуль при всех целых неотрицательных значениях х, меньших хроматического числа графа.

17.Задача о поиске выхода из лабиринта, реберная раскраска графа.

– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Говорят, что вершины графа G правильно раскрашены с помощью цветов {c1, c2,…, cr}, если каждой вершине поставлен в соответствие некоторый цвет, причем любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета.

Определение. Реберная раскраска графа называется правильной, если все ребра, инцидентные одной вершине, покрашены в разные цвета.

Задача «поиска выхода из лабиринта».

Изобразим модель лабиринта в виде графа.

Если мы идем по коридору первый раз, то красим его в зеленый цвет.

Когда идем по коридору второй раз, красим его в красный цвет.

По покрашенным в красный цвет коридорам ходить нельзя.

Если из вершины идут несколько коридоров, то выбираем не покрашенный коридор.

Когда идем по коридору первый раз, «разматываем нить».

Когда идем по коридору второй раз, «наматываем нить».

18.Ориентированные графы, источники и стоки, топологическая сортировка, алгоритм Демукрона.

– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

Определение. Ориентированные графы - графы с ориентированными (имеющими направление) ребрами. У таких графов каждое ребро выходит из его начальной в его конечную вершину и называется дугой. Всякая вершина, в которую не входит ни одна дуга, называется источником, а вершина, из которой нет выходящих дуг – стоком.

Топологической сортировкой ориентированного n-вершинного графа называется процесс, в результате которого каждой вершине приписывается номер из множества {1, 2, …, n} так, чтобы любая дуга была направлена от вершины с меньшим номером к вершине с бóльшим номером. Известно, что топологическая сортировка возможна лишь в том случае, если граф не содержит ориентированных циклов.

Алгоритм Демукрона для топологической сортировки графа. В этом алгоритме циклически повторяется одно и то же действие: в текущем графе находят источники, нумеруют их минимальными числами из текущего множества и затем удаляют их вместе с выходящими из них дугами. В начальный момент текущий граф – это исходный граф, а текущее множество – это множество {1, 2, …, n}. Алгоритм завершает работу, как только все вершины исходного графа окажутся пронумерованными.

19. Составление расписания выполнения комплекса работ в кратчайшие сроки методами теории графов.

Определение. Графом G называется пара (V, E), где V v1,...,vn – непустое множество вершин графа, а E {e1, e2 ,...,em}

– множество ребер графа, причем каждое ребро – это неупорядоченная пара различных вершин.

10