discrete_math

классами эквивалентности в том смысле, что все состояния автомата, попавшие в один класс, эквивалентны между собой, но не эквивалентны никакому состоянию из другого класса.

Определение. Два автомата с общими входным и выходным алфавитами называются эквивалентными, если для каждого состояния первого автомата найдется эквивалентное ему состояние второго автомата, и наоборот.

Определение. Автомат называется минимальным, если все его состояния попарно неэквивалентны.

Задача минимизации состоит в построении минимального автомата, эквивалентного заданному. Очевидно, такой минимальный автомат существует для любого детерминированного конечного автомата. Чтобы его найти, сначала используют алгоритм Мили, позволяющий разбить все состояния исходного автомата на классы эквивалентности, а затем каждый класс эквивалентности объявляют состоянием искомого минимального автомата и получают его функции выходов и переходов.

Пример 1. Найдем классы эквивалентности автомата, заданного таблицей выходов и переходов. В таблице для краткости все состояния обозначены своими номерами и перечислены в первом столбце.

состояний 4 и 5 под действием входного символа а автомат переходит в состояния 6 и 3, которые принадлежат одному классу C3, а под действием символа b – в одно и то же состояние 1.

Класс C3 расщепляется по символу а на классы C5 = {1} и C6 = {3, 6}. В самом деле, из состояния 1 под действием входного символа а автомат переходит в состояние 2, которое принадлежит классу C4, а из состояний 3 и 6 – в состояние 1, которое классу C4 не принадлежит. Значит, после расщепления класса C3 состояние 1 не должно попасть в один новый класс вместе с группой состояний 3 и 6. Состояния 3 и 6, наоборот, после расщепления C3 обязательно попадут в один класс, поскольку из этих состояний по входному символу b автомат переходит в состояния 5 и 4, принадлежащие классу C2. Таким образом, по окончании третьего этапа множество V оказалось разбито на четыре класса: C2 = {4, 5}, C4 = {2}, C5 = {1} и C6 = {3, 6}.

Ч е т в е р т ы й э т а п. Ни один из классов C2, C4, C5 и C6 не расщепляется. Следовательно, алгоритм завершил работу, а полученные множества C2, C4, C5 и C6 являются классами эквивалентности. Это означает, например, что состояния 4 и 5 эквивалентны друг другу, но не эквивалентны никакому другому состоянию автомата.

Пример 2. Решим задачу минимизации автомата, рассмотренного в примере 1. Поскольку нам уже известно разбиение множества его состояний на классы эквивалентности, оставим по одному состоянию из каждого класса {4,5}, {2}, {1} и {3,6}. Пусть, например, это будут состояния 4, 2, 1 и 3. Состояния 5 и 6 удалим. Тогда искомый минимальный автомат будет иметь четыре состояния.

32

Если функция является детерминированной, то для каждого t значение элемента у(t) однозначно определяется «прошлыми» входными значениями х(1), х(2),…, х(t – 1) и «настоящим» значением х(t), но не должно зависеть от «будущих» значений х(t + 1), х(t + 2), … .

Пример. Пусть требуется задать с помощью дерева детерминированную функцию f F3, выходная последовательность которой задана равенством у(t) = х(t) + 1 (mod 3), а элементы входной последовательности х(t) {0, 1, 2}.

Рассмотрим ориентированное от корня дерево, «растущее» бесконечно вверх. Корнем дерева является вершина v0. Из каждой вершины выходит по три дуги.

Далее вершины исходного бесконечного дерева будем называть эквивалентными, если эквивалентны растущие из них бесконечные поддеревья. В дереве детерминированной функции все вершины можно разбить на классы эквивалентности. В рассмотренном примере все вершины попали в один класс эквивалентности, потому что все они эквивалентны между собой. Однако в дереве большинства детерминированных функций можно выделить несколько классов эквивалентности вершин.

Определение. Количество классов эквивалентности вершин в бесконечном дереве детерминированной функции называется весом этой функции.

51. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции, способы их задания.

Определение. Количество классов эквивалентности вершин в бесконечном дереве детерминированной функции называется весом этой функции.

Определение. Детерминированная функция из класса Fk называется автоматной (или ограниченно-детерминированной) функцией, если она имеет конечный вес.

Автоматную функцию можно задать диаграммой Мура. Число вершин в ней равно весу автоматной функции, а сама диаграмма получается из конечного дерева с помощью отождествления в нем эквивалентных вершин.

Пример. Пусть требуется найти вес и построить диаграмму Мура автоматной функции f F2, выходная последовательность

бесконечное дерево. Конечное дерево, задающее автоматную функцию из примера 2, представлено на рисунке.

34

где функция Y – это функция выходов, Q – функция переходов, q(0) – начальное состояние автомата, вычисляющего данную автоматную функцию, а q(t – 1) и q(t) – состояния, в которых оказывается этот автомат соответственно в начале и в конце t- го такта. При этом предполагается, что множество состояний автомата V = {0, 1, 2, …, r – 1}. Функцию, рассмотренную в

52. Логические автоматы, способы их задания, синтез двоичного сумматора.

Описывая устройство с одним входом и одним выходом, можно использовать автомат, имеющий несколько входных и выходных каналов. Действительно, каждый символ входного и выходного алфавитов А и В можно закодировать набором длины n и m соответственно из более узкого алфавита, например {0,1}. Тогда автомат будет иметь n входных и m выходных каналов. Через xi(t), где i = 1, 2, …, n, обозначим сигнал, поступающий на i-й входной канал в начале t-го такта, а через уj(t), где j = 1, 2, …, т, – выходной сигнал на j-м канале по окончании t-го такта. Тогда можно считать, что автомат вычисляет сразу т автоматных функций f1, f2, …, fт, каждая из которых зависит от п аргументов (быть может, не от всех существенно). Если же состояния автомата также кодировать наборами длины k в алфавите {0,1}, то его можно будет задать канонической системой уравнений вида

детерминированный автомат называется логическим автоматом, если его функции выходов и переходов являются логическими функциями.

Пример. Рассмотрим автомат с входным и выходным алфавитом {0,1}, заданный системой уравнений

автоматом, имеется три класса попарно неэквивалентных вершин. Поэтому данный автомат имеет три состояния. Его диаграмма Мура изображена на рисунке. Начальное состояние 0 закодировано

парой 00, состояние 1 – парой 01, состояние 2 – парой 10. Такое правило кодирования состояний приводит к канонической таблице

Данный автомат является логическим, поскольку в правой части всех канонических уравнений содержатся только булевы функции. Заметим, что при ином выборе кодировки состояний автомата его каноническая таблица и канонические уравнения будут иметь другой вид.

35

Простейшим логическим автоматом является единичная задержка (т.е. задержка на один такт). В первый такт работы этот автомат посылает на выход сигнал 0, а в каждый последующий такт сигнал на выходе равен входному сигналу от

53. Операции над логическими автоматами: суперпозиция и введение обратной связи.

Пусть имеется два автомата, один из которых вычисляет автоматную функцию f1, а другой – функцию f2. Если выход первого автомата подключить ко входу второго, то полученный автомат будет вычислять суперпозицию f2( f1). Очевидно, суперпозиция автоматных функций сама является автоматной функцией. Её каноническую систему можно получить из канонических систем исходных функций.

Пример 1. Автоматные функции f1 и f2 заданы соответственно каноническими системами

Требуется получить каноническую систему и нарисовать схему из функциональных элементов и элементов единичной задержки для автомата, вычисляющего суперпозицию f2( f1).

Схемы автоматов, вычисляющих функции f1 и f2, приведены на рисунке. В первой схеме используется функциональные элементы инвертор и конъюнктор, а во второй – дизъюнктор. Кроме того, прямоугольником на схемах обозначены элементы единичной задержки. Надписи около их входов и выходов указывают, что в начале t-го такта им на вход поступает сигнал q(t), «выталкивая» при этом на выход сигнал q(t – 1).

Если имеется автомат, вычисляющий сразу т автоматных функций f1, f2,…, fт, каждая из которых зависит от п аргументов х1, х2,…, хn, и при этом fj зависит от хk с запаздыванием, то в этом автомате можно ввести обратную связь по паре переменных (fj, хk). Операция введения обратной в данном случае заключается в том, что сигнал с j-го выхода направляется на k-й вход. В результате получается автомат, вычисляющий (m – 1) автоматных функций от (n – 1) аргументов.

1 2 …… j …

36