Логические союзы.

Высказывания могут быть простыми, когда оно представлено в единственном числе, как какая-то одна мысль, и сложным, когда мыслей несколько и они связаны друг с другом. Сложное высказывание представляет собой соединение простых высказываний с помощью логических союзов. Грамматически такое высказывание выражается сложным предложением.

Простое высказывание рассматривается как нечто неделимое, не разложимое целое. Символически оно обычно обозначается латинскими буквами p, q, r,... и т.д. В данном случае мы отвлекается от того, что простое предложение, понимаемое как мысль, как суждение, состоит из множества структурных элементов (предмет мысли, его свойства и т.п.).

Таким образом, высказывание становится абстрактным объектом, имеющим одно из логических значений – истина или ложь. Такое понимание высказываний позволило использовать по отношению к ним методы функционального анализа, а именно вся совокупность высказываний стала рассматриваться как множество особого рода, состоящая только из двух видов элементов – истинных и ложных, с определенными логическими функциями, представляющими собой операции над этими абстрактными объектами. При этом всегда надо помнить, что логические союзы как функции этих абстрактных объектов имеют единственное строго определенное значение, тогда как грамматические союзы могут иметь различные значения.

Рассмотрим основные логические союзы.

Отрицание p.

Точный смысл логических союзов устанавливается с функциональной точки зрения в таблицах истинности. Таблица истинности такого союза является его самой существенной логической характеристикой и определением. Отрицание p задаётся таблицей:

p	p
И	Л
Л	И

Первый столбец таблицы называется входным. В нем отмечены все возможные логические значения простого высказывания, например, р. Во втором столбце, который называется выходным, отмечено соответствующие логическое значение отрицания этого высказывания р.

Отрицание – это логический союз, позволяющий производить логическую операцию, с помощью которой образуется новое сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно, и ложное, когда исходное высказывание истинно. Таким образом, при отрицании высказывание р получают высказывание, значение истинности которого противоположно значению истинности р.

Если отрицается высказывание р, то получается высказывание p. Это последнее выражение читается: “неверно, что р”, или “ложно, что р”, или просто “не-р”. Если отрицается сложное высказывание, то перед выражение ставится знак . Выражение читается так: “неверно, чтор и не-q”.

Возможные ошибки при употреблении отрицания

• В живой речи отрицание выражается различными способами. Приведем пример: “неверно, что эта книга интересная”. В логике речевой оборот “Неверно, что…” употребляется как языковое выражение для отрицания высказывания и, стало быть понимать его следует только так. Допустим, мы скажем: “Эта книга не интересная”. Оба повествовательных предложения практически равнозначны, они подразумевают одно и то же. Однако во второй формулировке отрицается не высказывание, а только понятие, составляющее часть содержания высказывания. Поскольку высказывания представляет собой единое неделимое целое, то и отрицать его можно только целиком. Если это требование не выполняется, то происходит произвольная замена одного высказывания другим.

Проанализируем пример с такого рода ошибкой. Пусть принимается за отрицание высказывание “Все розы не красные”, тогда получится высказывание “Все розы - красные”. Первое высказывание ложно, поскольку имеются розы красного цвета, если бы второе высказывание было отрицанием первого, то оно было бы истинным. Но оно также ложно, поскольку в нем утверждается, что вообще нет роз другого цвета кроме красного. По правилу отрицания мы обязаны сказать, что отрицаем высказывания “Все розы не красные” является только высказывание “Неверно, что все розы не красные”.

• Следует различать логическое и диалектическое отрицания. Такое различие становится очевидным в случае с двойным отрицанием. В логике дважды отрицаемое высказывание имеет то же значение истинности, что и соответствующее высказывание, не содержащее отрицаний, и может быть заменено им. Двойное диалектическое отрицание – отрицание отрицания – выражает поступательный характер развития. Это третья ступень развития, которая противоположна второй ступени и в каких-то чертах сходна с первой, но находится на более высоком и сложном уровне.

Конъюнкция ().

Конъюнктивными называются сложные высказывания, образованные из простых при помощи соединения их логическим союзом “и”. В речи конъюнкция может выражаться различными словами, такими, например, как “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя” “который”, “зато”, “однако”, “не только,... но и …”, “как … , так и …” и др., в письменном варианте – знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Приведем ряд примеров: “Шел снег, и было холодно”. “Ель растет перед дворцом, а под ней хрустальный дом” (Пушкин).

p	q	pq
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Пусть даны два произвольных высказывания p и q, соединенных конъюнктивно. Построим таблицу, которая содержит все возможные комбинации их логических значений. Число распределений истинности и ложности таких высказываний требует уже двух входных столбцов и четырех строчек. Во входных столбцах будем придерживаться строгой последовательности переборе значений по строкам. В выходном столбце получим те значения истинности, которая принимает конъюнкция в зависимости от распределения истинности и ложности исходных простых высказываний. При этом p и q будем называть конъюнктивными членами или просто конъюнктами. Символически конъюнкция обозначается знаком “” или “”.

Таблицу истинности для конъюнкции можно проиллюстрировать ситуацией “свидание”:

1-я строка – Он пришел на свидание (p истинно), и она пришла (q истинно). Свидание состоялось. Высказывания p и q оба вместе истинны. . Знак “” читается “равносильно” и означает “то же самое, что и…”.2-я строка – Он пришел на свидание (p истинно), но она не пришла (q ложно). Свидание не состоялось. Высказывания p  q оба вместе ложны. .3-я строка – Он на свидание не пришел (p ложно), а она пришла (q истинно). Свидания нет. Высказывания p  q оба вместе ложны. .4-я строка – Ни он, ни она на свидание не пришли. .

Слабая дизъюнкция

Разделительный логический союз “или” употребляется в трех значениях, имеет три разновидности, или формы, каждая из которых выражает конкретный способ связи между высказываниями: 1) не исключающий (допускающий совместимость); 2) строго разделительный (позволяющее только обособленное существование его компонентов) и 3) исключающий (характеризующий полную несовместимость). Поэтому и сложные высказывания, образуемые с помощью этого союза, бывают трех типов: 1) слабая дизъюнкция (не исключающие высказывания); 2) сильная дизъюнкция (строго разделительные высказывания) и 3) эксклюзия (исключающие высказывания). Слабая дизъюнкция (лат. – разделение, разобщение) получается из двух простых высказываний, соединенных с помощью слабого логического союза “или”. Здесь у союза ”или” нет исключающего смысла и соединяемые высказывания вполне совместимы. В естественном языке смысл слабой дизъюнкции можно передать следующим образом: “или это, или то, или то и другое вместе”. Таблица истинности слабой дизъюнкции дает нам такой результат:

p	q	pq
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Дизъюнкция обозначается знаком . Сравнение конъюнкции и дизъюнкции приводит к следующему результату. Если взять в обратном порядке истинностные значения конъюнкции и заменить их противоположными, то получим табличное определение дизъюнкции. Аналогичная процедура с дизъюнкцией дает нам конъюнкцию. Отсюда один из символических обозначений конъюнкции () есть перевернутый знак дизъюнкции (). Проиллюстрируем слабую дизъюнкцию следующим примером. Известно, что медь и золото составляют класс так называемых красных металлов. Пусть имеет место ситуация “Красный металл”:1-я строка – Медь есть (p истинно) и золото есть (q истинно). Красный металл есть .

2-я строка – Медь есть (p истинно), но золота нет (q ложно). Красный металл все-таки есть. .

3-я строка – Меди нет (p ложно), однако золото есть (q истинно). Тогда , ибо есть красный металл.

4-я строка – Нет ни меди (p ложно), ни золота (q ложно). Тогда , поскольку красного металла нет.

Примером слабой дизъюнкции является перечисление возможных событий, причин и т.п. “Автомобиль опрокинулся на повороте вследствие или превышения скорости, или резкого торможения, или неправильного расположения груза, или того и другого вместе”. Иначе говоря, хотя бы одно из высказываний должно иметь место.

Строгая дизъюнкция.

Строго дизъюктивными или строго разделительными называются высказывания, образованные из простых с помощью строго логического союза «или». Строго разделительный союз «или» имеет смысл: «либо это, либо то, но не то и другое вместе». Он отражает тот факт, что одна из имеющихся возможностей исключает остальные. Такая необходимость выбора одной из имеющихся возможностей называется альтернативой. Отсюда строго разделительный союз называют сильным (строгим), а сложное высказывание, образуемое с использованием его, - сильной (строгой) дизъюнкцией.

Строгая дизъюнкция «либо р, либо q» подобна слабой дизъюнкции полностью определяется истинности или ложностью составляющих её высказываний, но иначе. В этом случае имеет место следующая зависимость:

p	q
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Строгая дизъюнкция обозначается символом . Строгая дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания или истинны, или ложны. Например: “Либо данной число делится на два без остатка (р), либо оно является нечетным (q)”; «Этот предмет белым или небелый»( ). Члены как слабой так и сильной дизъюнкции называются дизъюнктами или дизъюнктивными членами.

Проиллюстрировать таблицу истинности для строгой дизъюнкции можно, используя в качестве примера «шахматную доску». Расположение клеток на шахматной доске по горизонтали и вертикали такого: если клетка белого цвета, то соседняя с ней (по вертикали и горизонтали) будет только черная, то есть не может быть, чтобы две соседние клетки были одного цвета. Если начать ходить ладьей на шахматной доске с белой клетки, считая ее имеющей значение “истина”, то будет иметь место такая картина:

1-я строка – исходная клетка белая (р истинно) и соседняя с ней клетка белая (q истинно). Тогда условие «либо только белая клетка, либо только черная» не выполнено. Следовательно, .

2-я строка – исходная клетка белая (р истинно), соседняя с ней клетка черная (q ложно). Тогда условие «либо только белая клетка, либо только черная» выполнено. Следовательно, .

3--я строка – исходная клетка черная (р ложно), соседняя с ней клетка белая (q истинно). Тогда условие «либо только белая клетка, либо только черная» выполнено. Следовательно, .

4-я строка – исходная клетка черная (р ложно), соседняя с ней клетка черная (q ложно). Тогда условие «либо только белая клетка, либо только черная» не выполнено. Следовательно, .

В естественных языках строго разделительный союз может быть выражен в таких словесных оборотах: “р или q, но не оба вместе”, “только р или только q”, “утверждается только одно, или р или q” и т.п.

Эксклюзия

Эксклюзия есть соединение простых высказываний с помощью исключающего союза “или” (р исключает q; р несовместно с q). В эксклюзии допускается, что ложными могут быть как р, так и q. Связку, отображающую несовместимость двух простых высказываний р и q, обозначают вертикальной чертой между ними, так называемым «штрихом Шеффера».

p	q
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	И

Сложное высказывание “” читается так: “р несовместно сq”, иначе говоря, “р и q исключают друг друга”. Эксклюзия истинна тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из высказываний ложно, а то и оба вместе. Смысл эксклюзии может быть выражен так: только одно из двух, но возможно, ни то, ни другое, а то и третье. Обе ситуации одновременно не могут иметь места. Например: “ Он родом из Перми или Кунгура” (хотя может быть и другой населенный пункт); “Первая лекция сегодня будет по физике или математике” (но, возможно, и по другому предмету); “Он уехал то ли в Томск, то ли в Омск”.

Импликация

Импликативными называются сложные высказывания, образованные из простых при помощи логического союза “если…, то…”. В импликативном высказывании “если р, то q” первый член (р) называется антецедентом, а второй консеквентном. Импликация имеет разные обозначения . Мы будем пользоваться первым знаком. Таблица истинности для импликации:

p	q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Суть импликации состоит в том, что она выражает связь между достаточными условиями и его следствием. Наличие события, о котором говорится в антецеденте, является достаточным основанием для того, чтобы имело место событие, указанное или мыслимое в консеквенте.

Репликация

Репликативными называются сложные высказывания, полученные из простых с помощью логического союза “если только …, то …”. Знаком для репликации служит символы . Сложное высказываниечитается: “р реплицирует q” или на естественном языке “только если р, то q”.

Таблица истинности для репликации:

p	q
И	И	И
И	Л	И
Л	И	Л
Л	Л	И

Репликация выражает утверждение о связи между необходимым условием и его следствием. Антецедент репликации – всегда необходимое условие, довод, причина. Мнемоническое правило репликации: если есть консеквент, то есть и антецедент, но не наоборот; р существует постольку, поскольку есть q; р, если только q. Поскольку есть тоже самое, что и, то репликацию иногда называют обратной импликацией.

Эквиваленция

Эквиваленцией называют сложное высказывание, которое получается из двух простых, связанных между собой с помощью логического союза “если и только если…”, “тогда и только тогда, когда…”. Эквиваленция обозначается . Мы будем пользоваться первым знаком.

p	q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Эквивалентное отношение “р тогда и только тогда, когда q”(“р эквивалентно q”) истинно в том случае, когда составляющие его простые высказывания либо оба истинны, либо оба ложны. Во всех остальных случаях эквиваленция ложна.

Связка Нико

Логическую операцию основательно проанализировал американский логик и философ Чарлз Пирс (1839-1914 гг.) в концеXIX в. и ввел знак для ее обозначения “”. Этот знак так и называют – “стрелка Пирса” или просто “стрелка”. Связка Нико выражается союзами: “ни ... , ни …” или “не …, не …” – и имеет смысл: “ни то, ни другое”.

p	q
И	И	Л
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Например: “Неслышно было ни веселых песен, ни смеху, ни звонких голосов по берегам” (И. А. Гончаров); “Елисей был старичок ни богатый, ни бедный” (Л. Н. Толстой). Связка Нико истинна тогда, и только тогда, когда ложны оба простых высказывания, входящие в сложное высказывание. Как видно из таблицы истинности, операция с указанным логическим союзом представляет собой противоположность слабой дизъюнкции, поэтому часто встречается такое её название, как “антидизъюнкция”, а выражающую её операцию называют “стрелкой Пирса”. Из таблицы истинности видно, что .

Антиимпликация и антирепликация

Завершим обзор логических союзов антиимпликацией и антирепликацией. В их названиях отраженно то, что они являются отрицаем импликации и репликации соответственно. Суть антиимпликации и антирепликации может быть выражена тем или иным способом отрицания условной связи. Действительно, отрицание импликации может быть представлено словесным оборотом “p, но не-q” или “р, а не-q”, поскольку .

p	q	pq
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	Л
Л	Л	Л

p	q
И	И	Л
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	Л

Антиимпликация истина тогда и только тогда, когда антецедент истинен, а консеквент ложен. Во всех остальных случаях антиимпликация ложна. В естественных языках антиимпликативная ситуация является весьма распространенной. Например, “Обещал, но не сделал”; “Третий раз гневаемся, а репа не растет”.

Антирепликация есть отрицание репликации, она обозначается символом . Ее смысл может быть передан так: “Не-р, аq”, или “Не-р, но q”, поскольку . Антирепликация истинна тогда и только тогда, когда антецедент ложен, а консеквент истинен. Во всех остальных случаях она ложна. Примеры: “Следующая лекция по логике состоится не завтра, а послезавтра, и не в этой аудитории, а в соседней, и не первой парой и третьей”; “Классик не подлежит критике, не подлежит исследованию”.