2.7. Некоторые задачи, которые могут быть решены с помощью регрессионного полинома

2.7.1. Определение закона распределения фукнкции отклика в случае, если факторы являются случайными величинами

Эта задача может быть решена, в частности, с помощью использования законов Пирсона, охватывающих достаточно большой класс законов распределения. Поясним методику получения этих законов.

Для большинства законов распределения непрерывных случайных величин плотность распределения вероятностей удовлетворяет дифференциальному уравнению вида:

. (2.22)

Можно показать, что постоянные коэффициенты, входящие в уравнение (2.22), определяются первыми четырьмя моментами случайной величины при условии, если эти моменты конечны:

, , , (2.23)

где

, , . (2.24)

(Ex – эксцесс случайной величины).

Решение уравнения (2.22) записывается в виде:

, (2.25)

где

. (2.26)

Постоянная интегрирования y₀ определяется из условия:

.

Вид функции w(x) зависит от вида корней знаменателя подынтегральной функции, которые определяются дискриминантом этого уравненияD:

, (2.27)

где

. (2.28)

При D>0.

При D<0 - сопряженные комплексные корни.

На рис.2.4 приведена k- диаграмма законов Пирсона – области параметраk, отвечающие различным функциямw(x) и, следовательно, различным типам распределения случайной величиныХ.

Рис.2.4 K-диаграмма законов Пирсона

Примечание:иотвечаюттипу 3распределения Пирсона.

Критерий kможет быть выражен через моменты распределения:

. (2.29)

Плотности распределения вероятностей и интегральные функции распределения для всех типов распределения Пирсона приведены в приложении 1. Ниже в табл. 2.8 даны краткие пояснения к законам Пирсона.

Таблица 2.8

Законы Пирсона

Тип	k	Пределы изменения Х	Название закона
1	<0		-распределение 1-го типа
2	0 (r3=0; r4<3)
3			-распределение3-го типа
4	0…1
5	1		Г-распределение
6	1…
7	0 (r3=0; r4>3) 0 (r3=0; r4=3)		Нормальный

Таким образом, для использования законов Пирсона следует в общем случае на основе регрессионного полинома определить первые четыре начальных момента, далее определить параметр k и в зависимости от его величины воспользоваться соответствующим законом Пирсона. Сразу же следует отметить, что определение третьего и четвертого начальных моментов при законах распределения случайных факторов, отличных от закона равномерной плотности, представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Можно предложить более простой путь, основанный на информации о первых двух моментах – математическом ожидании и дисперсии функции отклика - и о максимальном и минимальном её значениях. Как следует из табл.2.8, при этих условиях может быть применен тип 1 законов Пирсона, известный как-распределение 1-го рода. Поскольку это распределение справедливо для случайной величины, распределенной в диапазоне 0...1, то для его использования необходимо перейти от случайной величиныY (функции отклика), распределенной в диапазонеy_min,…y_max, к случайной величинеZ,распределенной в диапазоне 0...1:

. (2.30)

Поскольку случайные величины Z иY связаны между сбой линейно, то функция откликаYтакже будет подчинена-распределению. Входящие в это распределение параметры(таблица законов Пирсона дана в приложении) могут быть выражены через первые два момента:

, (2.31)

. (2.32)

где

, (2.33)

. (2.34)

При этом функция распределения Y записывается в виде:

. (2.35)

В выражении (2.35)

,

) – полная бэта-функция,

- неполная бэта-функция.

Плотность распределения вероятностей будет:

. (2.36)

Такая же исходная информация требуется для того, чтобы построить усеченный нормальный закон. Интегральная функция расределения и плотность распределения вероятностей в этом случае запишутся в виде:

, (2.37)

, (2.38)

где

- коэффициент усечения,

- интеграл вероятности или функция Лапласа.

Входящие в (2.37) и (2.38) параметры m исвязаны с двумя первыми моментами СВY cпомощью следующих уравнений:

, (2.39)

. (2.40)