планирование эксп / Пособие план. эксп / Пос.Кад.I.4

4. О ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ

4.1. Постановка задачи

Предположим, что функция отклика Y зависит от весьма большого количества факторов X_i. Анализ такого регрессионного полинома может оказаться затруднительным. Поэтому в ряде случаев оказывается более предпочтительным выделить какие-то главные факторы, которые каким-то образом связаны с исходными факторами (теперь их будем называть параметрами), но число этих главных факторов будет существенно меньшим по сравнению с числом исходных параметров. Так, например, при решении задач, связанных с минимизацией потерь в радиальных сетях 6-10 кВ, можно выделить следующие параметры, от которых зависят потери в этих сетях : )

X₁, X₂ - суммарная активная и реактиная энергии, передаваемые через сети за расчетный период;

X₃ – суммарная установленная мощность трансформаторов в сетях;

X₄ – суммарная длина участков ВЛ;

X₅ – суммарные потери в меди трансформаторов;

X₆ – суммарные потери холостого хода в трансформаторах;

X₇ – число трансформаторов;

X₈ – число участков линий;

X₉ – длина головного участка сети;

X₁₀ – сечение головного участка сети;

X₁₁ – мощность головного трансформатора;

X₁₂ – номинальное напряжение сети.

Часть из этих параметров являются режимными, часть – конфигурационными, часть – конструктивными. Следовательно, можно перейти от 12 параметров к трем главным факторам - F₁, F₂ и F₃.

 пример взят из диссертации: Содномдорж Дарийн "Разработка комплексных методов расчета и мероприятий по снижению потерь электроэнергии в электрических сетях Монголии".-Новосибирск.-НГТУ-МГТУ.-1995.

Следует отметить, что главные факторы не являются непосредственнно определяемыми величинами. Главный фактор является формой проявления более общей величины, содержащей скрытые свойства совокупности всех параметров (в рассмотренном примере – свойства режимов, конфигурации сети и её конструктивного исполнения).

Факторный анализ возник при исследовании психологических задач. Классическим примером является теория интеллектуальных возможностей человека. Можно предположить, что интеллектуальные возможности человека характеризуются большим количеством параметров: памятью, наблюдательностью, внимательностью, компетентностью и т.д. Спирмэн, однако, предположил, что все возможные совокупности корреляций между этими параметрами определяются лишь одним главным фактором - смышленностью. Более поздние исследования показали, однако, что этого одного главного фактора мало, чтобы охарактеризовать интеллектуальные возможности человека. Для разных задач могут быть введены какие-то эмпирические показатели. Так, например, анализ функций щитовидной железы, проведенный с помощью факторного анализа, показал, что главным фактором является наличие тироксина в крови (остальные анализы не являются небходимыми для установления диагноза).

Итак, наиболее сложной задачей является переход от параметров к факторам. Эта связь может быть представлена в матричной форме:

, (4.1)

где - матрица-столбец исходных параметров;

- матрица-столбец главных факторов.

Поскольку матрица A – не является квадратной, то решение уравнения (4.1) относительно матрицы-столбца главных факторов запишется в виде:

. (4.2)

Основной задачей факторного анализа является определение матрицы A.

4.2. Определение матрицы А. Метод главных компонент

Исходной информацией для определения матрицы А может служить матрица R (3.4) парных коэффициентов корреляции. Эта матрица может быть представлена в виде:

, (4.3)

где А^ - квадратная матрица, на основе которой далее находится искомая матрица А. Уравнение (4.3) имеет неоднозначное решение. Покажем это обстоятельство на примере. Пусть матрица парных коэффициентов имеет вид:

,

Неизвестную матрицу А^представим как

.

Тогда уравнение (4.3) запишется в виде:

. (4.4)

В уравнении (4.4) четыре неизвестных величины a₁₁; a₂₂, a₁₂ и a₂₁ связаны тремя уравнениями:

; ; , т.е. решение уравнения (4.4) не однозначно.

Следовательно, для решения уравнения (4.4) должны быть наложены какие-то дополнительные условия. Наиболее употребимым является метод, основанный на последовательной максимизации дисперсии матрицы А^в направлении из каждого из факторов.

Поясним идею этого метода. В матрице А^ (4.5) k-ый столбец связывает параметры X_i c k-ым главным фактором. Поэтому максимизация дисперсии в направлении этого фактора отвечает максимуму .

. (4.5)

Выражения для при использовании этого метода будут иметь вид:

, (4.6)

где _k – собственные числа матрицы R,

z_ik – i-ая составляющая k-го собственного вектора матрицы R .

Таким образом, чтобы найти матрицу А^ необходимо решить проблему собственных чисел и векторов матрицы R. Собственные числа найдутся путем решения уравнения

. (4.7)

k –ый собственный вектор определяется из уравнения

. (4.8)

Матрица собственных векторов будет:

. (4.9)

Матрица А^- квадратная матрица, позволяющая получить из n параметров n главных факторов. Вместе с тем, число главных факторов должно быть меньше числа параметров. Поэтому в матрице А^ необходимо отбросить часть столбцов.

Возможным критерием может служить следующий:

. (4.10)

Иными словами, после отбрасывания части столбцов (m<n) остаточная дисперсия не должна быть менее 0.75 полной дисперсии.

Пример. В табл.4.1 приведены результаты экспериментов.

Таблица 4.1

Результаты экспериментов

N оп.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x1	1	2	1	2	2	1	1	0	1
x2	1	1	2	2	1	2	0	1	1
x3	2	1	1	1	2	2	1	1	0
	4	5	2	45	6	3	4	1	2

Регрессионный полином, связывающий функцию отклика с параметрами, имеет вид: . Попытаемся перейти к двум главным факторам F₁ и F₂. Матрица парных коэффициентов корреляции, полученная на основе табл.4.1 по приведенным в 3.1 выражениям, имеет вид:

.

Собственные числа матрицы R являются решениями уравнения:

—

Матрица собственных векторов, отвечающих вычисленным собственным числам, а также матрица A^ будут:

,

.

Дисперсии столбцов матрицы А^оказались равными ,

. Суммы нагрузок первого и второго факторов оказались одинаковыми. При отбрасывании любого из этих столбцов оставшаяся суммарная дисперсия составляет 72% от первоначальной суммарной дисперсии. Выше указывалось, что оставшаяся дисперсия не должна быть меньше величины порядка 75% от изначальной суммарной дисперсии. Поскольку эта рекомендация не является жесткой, а остаточная дисперсия близка к 75% , то отбросим второй столбец в матрице А^. Тогда

.

Матричное уравнение, связывающее матрицу главных факторов F с матрицей параметров X, записывается в виде:

или =.

Результаты экспериментов, приведенные в табл.4.1 для различных значений параметров, переписаны далее в виде табл.4.2 относительно соответствующих этим параметрам главных факторов.

Таблица 4.2

Результаты экспериментов применительно к главным факторам

N оп.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
F1	-0.435	0.889	-0.454	0.435	0.454	-0.889	0.454	-0.889	0.435
F2	2.018	2.018	2.018	2.522	2.522	2.522	1.009	1.009	1.009
	4	5	2	4	6	3	4	1	2
	4.337	7.534	2.989	5.288	5.316	3.280	2.460	0.427	2.436

Определим методом наименьших квадратов коэффициенты линейной регрессии . Матрица-столбец коэффициентов оказалась равной . Результаты функции отклика, определенные с помощью линейной регрессии, занесены в нижнюю строку табл.4.2 (). Проверка статистической значимости полученной линейной регрессии относительно двух главных факторов была произведена с использованием критерия Фишера:

, где

; .

Статистическая значимость линейной регрессии, составленной относительно главных факторов, оказалась достаточно высокой (q = 0.526).

39