планирование эксп / Пособие план. эксп / Пос.Кад.I

2. ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

2.1. Задача дисперсионного анализа. Проверка нулевой гипотезы по критерию Фишера

Задачей дисперсионного анализа является выделение и оценка тех или иных факторов, вызывающих изменчивость средних значений случайных величин.

Поясним решение этой задачи на примере.

Пример. Проанализируем влияние на сроки службы электрических ламп качества материала, из которого изготовлены их нити накаливания. Были изготовлены 4 партии ламп по одинаковой технологии, но отличающиеся материалами нитей накаливания. Для каждой лампы из каждой партии был проведен эксперимент по определению срока их службы. Необходимо оценить при достаточно ограниченном числе испытанных ламп влияние материала нити накаливания на средний срок их службы. Если окажется, что это влияние статистически значимо, то разумно принимать достаточно жесткие требования к материалу нити накаливания. Результаты испытаний срока службы электрических ламп приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Результаты испытаний электрических ламп

Номера партий ламп, g	Число экз. ng	Сроки службы (в тыс. час.)	(в тыс. час.)
1	7	1.60; 1.61; 1.65; 1.68; 1.70; 1.72;1.80	1.680
2	5	1.58; 1.64; 1.64; 1.70; 1.75	1.662
3	8	1.46; 1.55; 1.60; 1.62; 1.64; 1.66; 1.74; 1.82	1.636
4	6	1.51; 1.52; 1.53; 1.67; 1.60; 1.68	1.585

Средние сроки службы для различных партий ламп (), и средний срок службы по всем партиям () определяются как ():

, =1.64 тыс.час. (2.1)

Из таблицы видно, что средние значения сроков службы для разных партий различны. Применение дисперсионного анализа позволит установить, является ли это различие статистически значимым. Для этой цели необходимо оценить общую дисперсию (), а также дисперсию между группами (), характеризующую межгрупповое рассеивание и внутри групп ( - остаточное или внутригрупповое рассеивание):

, , , (2.2)

где

; (2.3)

, (2.4)

. (2.5)

Для проверки "нулевой" гипотезы (о статистической значимости расхождения средних значений в группах) обычно используется двухсторонний критерий Фишера:

. (2.6)

При этом уровень значимости нулевой гипотезы определяется как:

, где f – значение аргумента, определенное по выражению (2.6).

Проверим статистическую значимость нулевой гипотезы для результатов испытаний сроков службы электрических ламп, приведенных в табл.2.1. В этом примере Q=0.192; Q_g=0.032; Q_R=0.16; =0.00768; =0.0142; =0.007.

Критерий f при этом определится как и уровень значимости нулевой гипотезы q = (1-0.861)2 = 0.278. Следовательно, нулевая гипотеза о принадлежности ламп всех партий единой генеральной совокупности не противоречит располагаемому статистическому материалу с уровнем значимости q = 0.278. Иными словами, материал нити накаливания статистически незначимо сказывается на сроке службы электрических ламп. В случае, если нулевая гипотеза оказывается статистически не значимой, необходимо оценить степень влияния тех или иных факторов на изменчивость средних значений. Перейдем к решению этой задачи.

2.2. Оценка влияния отдельных факторов на устойчивость среднего

Покажем решение этой задачи применительно к другому примеру, связанному с оценкой средней урожайности в зависимости от вида удобрения. В табл.2.2 приведены результаты проверки урожайности, характеризуемой некоторым численным показателем.

Таблица 2.2.

Характеристики урожайности в зависимости от вида удобрения

Номера выборок g	Число образцов ng	Тип удобрения	Показатель урожайности
1	4	Без удобрений	67; 67; 55; 42	57.75
2	4	K2O+N	98; 96; 91; 66	87.75
3	4	K2O+P2O5	60; 69; 50; 35	53.50
4	4	N+P2O5	79; 64; 81; 70	73.50
5	4	N+P2O5+K2O	90; 70; 70; 88	81.75

Проверим сначала нулевую гипотезу. Для приведенных данных =6.133 (4, 15) и

Таким образом, в рассматриваемом случае нулевая гипотеза оказывается статистически не значимой. Иными словами, внесение удобрений влияет на урожайность. Необходимо определить внесение каких удобрений статистически значимо повышает урожайность. Решение этой задачи основывается на сравнении с помощью критерия Стьюдента попарно тех или иных вариантов. Т-статистика Стьюдента представляет собой случайную величину вида:

. (2.7)

Поскольку проверяется гипотеза об отсутствии статистически значимого различия между средними значениями двух групп, то . Дисперсия же статистики T, как это следует из выражения (2.7), Запишем выражение для статистики T в случае, если количество реализаций СВ и составляет n₁ и n₂, соответственно:

, . (2.8)

.

Следовательно, статистика T (2.7) может быть записана в виде:

. (2.9)

При оценке критерия T в рассматриваемой задаче в качестве оценки среднеквадратического отклонения принимается остаточное отклонение , характеризующее внутригрупповое рассеивание.

Сравним варианты 1 и 4 в табл.2.1 (варианты без удобрений и при внесении N+P₂O₅). В этом случае

.

Используя двухсторонний критерий Стьюдента, получаем . Следовательно, гипотеза о статистической незначимости различия урожайности в вариантах 1 и 4 не противоречит располагаемому статистическому материалу (внесение удобрения N+P₂O₅ статистически не значимо повышает урожайность).

Сравним варианты 1 и 2 в табл.2.1 (варианты без удобрений и при внесении K₂O+N). В этом случае

,

. Следовательно, гипотеза о статистической незначимости различия урожайности в вариантах 1 и 2 противоречит располагаемому статистическому материалу (внесение удобрения K₂O+N статистически значимо повышает урожайность).

26