планирование эксп / Пособие план. эксп / Пос.Кад.разд.II

РАЗДЕЛ II. ПЛАНИРОВАНИЕ АКТИВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

1. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МОНТЕ-КАРЛО)

   1. Идея метода

Под методом статистических испытаний (МСИ) понимается совокупность приемов, позволяющих получать решение физических или математических задач при помощи многократных физических или вычислительных экспериментов. Весьма успешно метод Монте-Карло применяется в случаях, когда искомая величина носит случайный характер. Например, пусть необходимо определить закон распределения максимумов перенапряжений U_m, возникающих при включении холостой линии в процессе синхронизации. Эти перенапряжения зависят от угла включения , закон распределения которого зависит от типа выключателя. Производятся вычислительные эксперименты при различных реализациях угла , генерируемых датчиком случайных чисел, распределенных по заданному для данного типа выключателя закону. При каждом вычислительном эксперименте определяется максимум перенапряжений U_mi. Затем производится статистическая обработка результатов эксперимента. Оценка математического ожидания U_m определяется, например, как . Из изложенного следует, что применение метода статистических испытаний требует использования датчика случайных чисел.

2. Генерация случайных чисел

До широкого внедрения компьютеров датчики случайных чисел организовывались на физических принципах. Даже первые экземпляры цифровых вычислительных машин (ЦВМ) были оснащены такими датчиками. В качестве датчиков, использующих физические явления, применялись датчики, регистрирующие радиоактивное излучение, шумы электронных ламп, радиошумы и т.д. Генераторы шумов вырабатывают серию случайных импульсов, которые усиливаются и формируются в стандартные импульсы, из которых далее и образуется двоичный код случайного числа.

Прогресс вычислительной техники привел к использованию датчиков так называемых псевдо-случайных чисел, т.е. чисел, вырабатываемых по определенным алгоритмам. К алгоритмам датчиков псевдо-случайных чисел предъявляются следующие требования:

• выработанная выборочная совокупность чисел должна отвечать требованиям случайности;

• выработанные числа должны иметь весьма малую корреляционную связь;

• закон распределения выработанных чисел должен быть весьма близким к требуемому закону.

Основой генерации чисел, распределенных по любому закону, является датчик случайных чисел, распределенных по закону равномерной плотности в диапазоне 0…1. Алгоритмы генерациии случайных чисел, распределенных по закону равномерной плотности, строятся часто с помощью методов Неймана, основанных на последовательных операциях с генерируемыми числами. В качестве примера приведем алгоритм генерации случайных чисел, распределенных по закону равномерной плотности, достаточно хорошо удовлетворяющий приведенным выше требованиям. Каждое последующее число r_i+1 формируется на основе предыдущего как , где знак { } означает дробную часть числа. При этом в качестве начального значения случайного числа принимается r₀=0.1234567.

Проверка близости закона распределения случайных чисел, полученных по этому алгоритму, к закону равномерной плотности, произведенная при генерировании 200 случайных чисел с помощью критерия n² (Мизеса), привела к уровню значимости этой гипотезы q=0.4835. Иными словами, приведенный алгоритм статистически значимо позволяет генерировать случайные числа, распределенные по закону равномерной плотности в диапазоне 0…1. В настоящее время практически все пакеты математических систем для ПЭВМ оснащены процедурами генерации случайных чисел, подчиненных различным законам распределения. Покажем, как с помощью датчика случайных чисел, распределенных по закону равномерной плотности, можно получить датчик случайных чисел, распределенных по любому другому закону. Интегральная функция распределения случайной величины X записывается в виде:

, (1.1)

где - плотность распределения случайной величины X.

Покажем, что случайная величина Y=F_X(x) распределена по закону равномерной плотности в диапазоне 0…1. Рассмотрим Y, как функцию случайной величины X (рис.1.1).

Рис.1.1. К определению закона распределения F_X(x)

Тогда Плотность распределения случайной величины Y при этом будет:

,

но . Следовательно и Следовательно, значения функции распределения случайной величины, подчиненной любому закону распределения, распределены по закону равномерной плотности в диапазоне 0…1. Поэтому генерация реализаций случайной величины X, распределенной по любому закону, сводится к генерации чисел y_i, распределенных по закону равномерной плотности в диапазоне 0…1 и определении для каждого из генерируемых чисел реализации x_i, связанной с y_i соотношением . Так, например, при генерировании чисел, подчиненных экспоненциальному закону распределения:

сначала генерируются числа y_i, подчиненные закону распределения равномерной плотности в диапазоне 0…1, и для каждой реализации y_i определяется требуемая реализация x_i c помощью соотношения .

1.3. Вычисление определенных интегралов

Одномерные интегралы. С помощью метода статистических испытаний можно вычислять определенные интегралы. Рассмотрим сначала способы вычисления одномерных интегралов. Пусть задан интеграл (рис.1.2). Интеграл представляет собой заштрихованную площадь. Вычисление этой площади можно осуществить при использовании метода статистических испытаний двумя способами.

1-ый способ. Примем, что система случайных величин X и Y распределена по закону равномерной плотности в прямоугольнике со сторонами (b-a) и с: . Тогда вероятность попадания в область D, площадь которой и представляет собой искомый интеграл I, определится как . Следовательно, искомый интеграл определяется как:

(1.2)

Входящую в выражение (1.2) вероятность можно определить с помощью метода статистических испытаний. Генерируется два числа, распределенные по законам равномерной плотности в диапазонах (b-a) и (0…с). Если эти числа попадают в область D, то результату опыта присваивается 1, если не попадают – то 0. При проведении n экспериментов

=, где m – число попаданий в серии из n опытов в область D. Следовательно искомый интеграл определится как:

. (1.3)

Следует отметить, что, если генерируются числа v_i, распределенные по законам равномерной плотности в диапазонах 0…1, то эти числа преобразуются в x_i и y_i c помощью линейных преобразований:

; .

Очевидно, что при применении МСИ вычисляется оценка искомого интеграла, приближающаяся к его истинному значению с увеличением числа опытов. Оценим погрешность приведенного метода. Рассматривая в (1.3) m как случайное число Z попаданий в некоторую область в серии из n опытов, перепишем это выражение в виде:

. (1.4)

В (1.4) Z_i - дискретная случайная величина, определяемая как:

, где р – вероятность появления единицы в одном из опытов.

Таким образом, математическое ожидание оценки интеграла I^* и дисперсия этой оценки определятся как:

; (1.5) . (1.6)

Согласно центральной предельной теореме Ляпунова оценка интеграла I^ распределена по нормальному закону. Поэтому доверительная вероятность события, заключающегося в том, что истинное значение интеграла будет находиться в интервале определится как:

. (1.7)

Из (1.6) следует, что среднеквадратическое отклонение оценки обратно пропорционально . Cледовательно, точность расчетов с увеличением числа опытов возрастает пропорционально . Обычно, при вычислении интеграла расчетчик увеличивает число опытов до таких значений, при которых значение интеграла практически остается неизменным.

Второй способ.

Математическое ожидание подынтегральной функции (X), если принять аргумент X в виде случайной величины, запишется в виде:

. (1.8)

Принимая случайную величину X распределенной по закону равномерной плотности в диапазоне a…b, получим:

. (1.9)

Следовательно, искомый интеграл определится как

. (1.10)

Оценить можно, используя метод статистических испытаний.

С помощью датчика случайных чисел, распределенных по закону равномерной плотности, генерируются числа x_i , для каждого из которых определяется значение подынтегральной функции - . Оценка математического ожидания этой функции при n опытах определяется как:

. (1.11)

Оценка же интеграла будет

. (1.12)

Многомерные интегралы. Требуется вычислить трехмерный интеграл вида

. (1.13)

Для оценки этого интеграла используем второй способ вычисления.

Математическое ожидание подынтегральной функции запишется в виде:

. (1.14)

Принимая закон распределения системы X,Y,Z в виде закона распределения равномерной плотности в объеме V, перепишем (1.14):

. (1.15)

Следовательно, искомый интеграл определится как:

. (1.16)

может быть определено с помощью метода статистических испытаний. Для этой цели с помощью генератора случайных чисел, распределенных по закону равномерной плотности, последовательно генерируются три числа – x_i, y_i, z_i и определяется Производится n испытаний и определяется оценка :

=. (1.17)

Оценка же интеграла записывается в виде:

. (1.18)

Требуемое количество опытов обычно подбирается экспериментально: при постепенном увеличении опытов значение интеграла стремится к определенной величине и практически не меняется при дальнейшем увеличении их числа.

47