планирование эксп / Пособие план. эксп / Пос.Кад. I.1

1.2. Определение параметров нелинейной регрессии методом наименьших

квадратов

Условное математическое ожидание СВ Y может быть связано с величиной x нелинейно:

. (1.42)

Статистическая оценка нелинейной регрессии запишется в виде:

. (1.43)

Выражение (1.43) напоминает соответствующее выражение для множественной линейной регрессии (1.19), если в последнем заменить х_k на x^k. Поэтому выражения для матриц X и Y, на основе которых определяется матрица-столбец коэффициентов В, в случае нелинейной регрессии записываются в виде:

,

.

Пример. Пусть в результате эксперимента получены следующие 9 значений величины Y: при x₁=x₂=x₃=1 y₁=2, y₂=3, y₃=4;

при x₄=x₅=x₆=2 y₄=6, y₅=7, y₆=8;

при x₇=x₈=x₉=3 y₇=12, y₈=13, y₉=14.

Аппроксимируем нелинейную регрессию полиномом второй степени:

. (1.44)

При этих данных =2, =4.666; =12; =32.6; =7.67; =18.6; =49.33. Матрица коэффициентов регрессионного полинома будет и оценка линии регрессии записывается в виде:

. (1.45)

Первая постановка задачи – построение доверительного коридора.

Условная дисперсия определяется как:

, (1.46)

где ,

,

, , , , , , , ,

.

В рассматриваемом примере

, .

При доверительной вероятности P_д=0.95 корридор для линии регрессии определится как:

На рис.1.3 приведен корридор для нелинейной регрессии, построенный по приведенным данным.

Рис.1.3. Коридор для нелинейной регрессии, отвечающий P_д=0.95

При второй постановке задачи (в результате экспериментов получено 9 различных пар величин X и Y) определяем статистическую значимость полученной линии регрессии с использованием критерия Фишера:

.

Таким образом, нелинейная регрессия почти в 20 раз лучше предсказывает результаты опыта, чем среднее значение Y. Уровень значимости этой гипотезы q = 0.999.

21