2.3. Планы второго порядка
Если линейная модель не адекватна исследуемому объекту, то следует испытать планы более высоких порядков и в первую очередь полный полином второго порядка:
.
(2.10)
С помощью последнего члена полинома учитывается взаимодействие факторов X1иX2. Полином содержит 6 коэффициентов (=6). Следовательно, с помощью ПФЭ порядка 22=4 определить все коэффициенты не представляется возможным. В общем виде число подлежащих оценке коэффициентов полного квадратичного полинома определяется как:
.
(2.11)
Для того, чтобы получить отдельные (не смешанные) оценки коэффициентов при членах Х2необходимо каждый фактор нормировать хотя бы на трех уровнях (число уровней должно быть не меньшеn+1,n– степень полинома). При этом спектр плана типа ПФЭ определится какv=(n+1)k. Так например, приk=2 иn=2=6, спектр плана будет равенv=32=9. Возникает некоторая, правда, небольшая избыточность спектра плана. С увеличением числа факторов эта избыточность увеличивается. Так приk=3 иn=2v=33=27, а=10 – избыточность числа опытов может оказаться слишком большой. Избежать этой избыточности можно путем построения так называемыхкомпозиционных планов. Ядром такого плана служит ПФЭ приm=2.
Недостающие точки
плана назначаются по ряду соображений.
В частности, используются планы,
содержащие помимо точек плана ПФЭ при
k=2 так называемые
звездные точки (рис.2.3).
а)
б)
Рис.2.3. Ортогональный (а) и ротатабельный (б) планы
На рис.2.4 приведено графическое изображение ортогонального композиционного плана при трех факторах.
Рис.2.4. Ортогональный композиционный план при трех факторах (k=3)
Матрицы ортогонального и ротатабельного композиционного планов приведены в табл.2.6 и 2.7.
Таблица 2.6
Матрица Fцентрального композиционного ортогонального плана приk=2
|
№ опыта |
Матрица F | |||||||||||
|
X0 |
Матрица X |
|
|
|
Вид точек плана | |||||||
|
X1 |
X2 | |||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Ядро плана | |||||
|
2 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-1 | ||||||
|
3 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 | ||||||
|
4 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 | ||||||
|
5 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Звездные точки плана | |||||
|
6 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||||||
|
7 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 | ||||||
|
8 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 | ||||||
|
9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Центр плана | |||||
Таблица 2.7
Матрица Fцентрального композиционного ротатабельного плана приk=2
|
№ опыта |
Матрица F | |||||||||||
|
X0 |
Матрица X |
|
|
|
Вид точек плана | |||||||
|
X1 |
X2 | |||||||||||
|
1 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
Ядро плана | |||||
|
2 |
1 |
-1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 |
-1/2 | ||||||
|
3 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
1/2 |
1/2 |
-1/2 | ||||||
|
4 |
1 |
-1/2 |
-1/2 |
1/2 |
1/2 |
1/2 | ||||||
|
5 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Звездные точки плана | |||||
|
6 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||||||
|
7 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 | ||||||
|
8 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 | ||||||
|
9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Центр плана | |||||
Коэффициенты
полного регрессионного полинома второго
порядка определяются из матричного
уравнения
:
,
(2.12)
где
- информационная матрица.