2.2. Планы первого порядка. Полный факторный эксперимент (пфэ)

Обозначим истинные факторы символами Z_i. Каждый из факторов меняется в диапазонеz_imin…z_imax. Минимальному значению фактора поставим в соответствие минимальное значение кодированного фактораx_imin= -1, максимальному значению -x_imax=1.

Тогда кодированные факторы будут связаны с не кодированными зависимостью:

, (2.1)

где ,.

Обратные соотношения, соответственно будут:

, (2.2)

где ,.

При проведении экспериментов задаются числами уровней каждого фактора– m_i.Спектр плана определяется как:

. (2.3)

Если числа уровней каждого фактора одинаковы и равны m,

то . (2.4)

В простейшем случае, когда принимаются лишь максимальное и минимальное значения каждого фактора, спектр плана оказывается равным .

Рассмотрим для примера линейную регрессию при k=2:

. (2.5)

Графическое изображение плана эксперимента для этого случая приведено на рис.2.1.

Число точек плана, в которых проводится эксперимент, равно 4, а число коэффициентов линейной регрессии (2.5), которые необходимо определить, равно 3. Следовательно, план обладает некоторой избыточностью, что и необходимо при планировании, поскольку полином должен достоверно отражать функциональную связь не только в точках плана, но и в промежуточных точках. Следует отметить, однако, что избыточность не должна быть большой. Более подробно этого вопроса в настоящем пособии касаться не будем. Ниже приведена таблица полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа 2^k.

Поскольку в регрессионном полиноме (2.5) есть свободный член b₀, то в план введен фиктивный вектор.

Таблица 2.1

ПФЭ типа 2²

№ точки плана	Х0	Х1	Х2	Y
1	1	1	1	y1
2	1	-1	1	y2
3	1	1	-1	y3
4	1	-1	-1	y4

В табл.2.1 y_i - результаты эксперимента вi-ой точке плана.

Коэффициенты полинома (2.5) определяются путем решения матричного уравнения

. (2.6)

Поскольку матрица X – прямоугольная матрица (43), то решение уравнения (2.6) записывается в виде:

, (2.7)

где

- информационная матрица.

Дробные реплики ПФЭ типа 2^k

При большом числе факторов k спектр плана оказывается большим, а число коэффициентов линейного полинома без учета взаимодействий факторов составляет Так, например приk=4v=2⁴=16, а число коэффициентов регрессионного полинома составляет . Следовательно, в рассматриваемом примере избыточность числа опытов над числом коэффициентов оказывается при использовании ПФЭ чрезмерно большой. В этом случае можно усложнить полином, вводя в него взаимодействия факторов:

(2.8)

Регрессионный полином (2.8) основан на полной реплике плана. Число коэффициентов полинома равно

(2.9)

Число коэффициентов в рассматриваемом случае равно спектру плана, т.е. отсутствует избыточность, что также нежелательно. Можно, однако, уменьшить число взаимодействий и соответственно уменьшить число экспериментов. Такие планы называются полурепликами, четвертьрепликами и т.д. План имеет спектр, гдер – число дополнительных факторов, образованных из остальных, характеризующих эффекты взаимодействия.

В табл.2.2 приведено пояснение понятия дробной реплики.

Таблица 2.2

Пояснение понятия дробной реплики

k	Полная реплика 2k	Дробная реплика	Спектр плана v	Кол-во коэфф. при линейном плане	Вид плана
3	8	23-1	4	4	1/2 реплики
4	16	24-1	8	5	1/2 реплики
5	32	25-2	8	6	1/4 реплики
6	64	26-3	8	7	1/8 реплики
7	128	27-4	8	8	1/16 реплики

Из табл. 2.2. видно, что при k=4, 5 и 6 спектры планов характеризуются избыточностью (v>); приk=1 и 7 число определяемых коэффициентов совпадает с числом опытов (v=).

Ниже приведено пояснение к построению дробных реплик применительно к плану типа 2^k-1при числе факторовk=3.

Рассмотрим два способа построения такого плана.

Первый способ.

В табл.2.3 приведен ПФЭ при спектре

Таблица 2.3

Спектр линейного плана в случае полной реплики (k=3).

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3
1	1	1	-1	-1
2	1	-1	1	-1
3	1	-1	-1	1
4	1	1	1	1
5	1	1	1	-1
6	1	1	-1	1
7	1	-1	1	1
8	1	-1	-1	-1

Полуреплика плана 2^3-1=2²=4 может быть получена с помощью генерирующих соотношений. Примем два соотношения:X₁X₂X₃=1 иX₁X₂X₃=-1.Первому соотношению отвечают первые четыре точки плана, второму - последние четыре точки. Соответствующие полуреплики приведены в табл.2.4 и 2.5.

Таблица 2.4

Полуреплика плана при X₁X₂X₃=1

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3
1	1	1	-1	-1
2	1	-1	1	-1
3	1	-1	-1	1
4	1	1	1	1

Таблица 2.5

Полуреплика плана при X₁X₂X₃=-1

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3
1	1	1	1	-1
2	1	1	-1	1
3	1	-1	1	1
4	1	-1	-1	-1

Второй способ.

В полной реплике плана (табл.2.3) выбираем точки, отвечающие соотношению Х₁Х₂=Х₃. Этому соотношению отвечают первые четыре точки плана. Т.е. эта полуреплика полностью совпадает с полурепликой, полученной первым способом при генерирующем соотношенииX₁X₂X₃=1.