2. Зависимость времени удара от размера шара

В лабораторной системе отсчета шар 1, падая с высоты h, к моменту соударения получает импульс mV₀. Заметим, что шар 1 всегда поднимается на одинаковую высоту. Тогда V₀ = =const. Шар 2 до соударения находится в покое. Из законов сохранения импульса и энергии для центрального упругого удара следует, что после соударения шар 1 остановится, а шар 2 получит импульс mV₀. Шары, имеющие одинаковые массы и радиусы, обменяются импульсами. Изменение импульса шара 2 за время соударения равно P₂ = mV₀.

Время соударения шаров по второму закону Ньютона рассчитывается по формуле

= P₂ / <F₁₂> , (1)

где <F₁₂> – средняя упругая сила, с которой первый шар действует на второй.

Для определения F рассмотрим соударение шаров в системе центра инерции (СЦИ), называемой также системой центра масс, т. е. в инерциальной системе отсчета, в которой суммарный импульс шаров до и после взаимодействия равен нулю. В такой системе отсчета импульсы шаров до и после соударения равны по величине и противоположны по направлению. До соударения шары движутся навстречу друг другу, после – разлетаются в противоположные стороны. Скорость движения СЦИ необходимо выбрать равной половине скорости первого шара V = V₀/2. Закон сохранения импульса в СЦИ имеет вид

Р₁ + Р₂ = Р ^/₁ + Р ^/₂ = 0 (2)

где Р₁= Р₂= Р ^/₁= Р ^/₂= mV₀/2.

Шары взаимодействуют с упругими силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Процесс упругого соударения шаров в СЦИ можно представить в виде следующих двух этапов:

1. на первом этапе оба шара одновременно тормозятся и упруго деформируются, пока кинетическая энергия шаров полностью не превратится в энергию упругой деформации;

2. на втором этапе величина деформации X уменьшится до нуля, энергия упругой деформации превратится в кинетическую энергию шаров.

Закон сохранения механической энергии для первого этапа соударения шаров запишем так:

(mV₀²/4) = 2<F>X_m, (3)

где X_m – максимальная величина продольной деформации, одинаковая для каждого из шаров.

Средняя величина упругой силы из (2), (3) равна

<F> = mV₀²/8X_m . (4)

Тогда время соударения шаров из (1), (4)

= 8X_m/V₀ (5)

Из (5) следует, что пропорционально X_m. Из рис. 1 видно, что X_m зависит от радиуса шара R: X_m = 2R sin²_m = D sin²_m. Для определения зависимости Х_m от R рассмотрим сначала грубую физическую модель, в которой шар диаметром D заменен телом кубической формы (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Считаем, что при упругом соударении тел упругая сила пропорциональна величине деформации (закон Гука):

F/S = E(X/D) , (6)

где Е – модуль Юнга; S = D² – площадь соприкосновения тел.

Средняя величина упругой силы равна половине максимальной

<F> = F_m/2 = EDX_m/2 . (7)

Заменяя m = D³, из (4), (7) получим

, (8)

где ρ – плотность тела.

Время соударения тел из (5), (8)

= 4(/E)^1/2D . (9)

При упругом сжатии шаров закон Гука не выполняется (см. Приложение), поскольку в этом случае наряду с продольной деформацией происходит еще увеличение площади соприкосновения шаров. Кроме этого, имеют место поперечные деформации шаров. В данном случае зависимость F от X нелинейная. Однако для стальных шаров так же, как и для тел кубической и цилиндрической формы, максимальная величина продольной деформации X_m пропорциональна размерам тел. Это приводит к линейной зависимости времени соударения стальных шаров от их диаметра

= AD , (10)

где А – коэффициент пропорциональности, зависящий от ρ, Е, V₀.

Полученную зависимость (10) от D проверяем экспериментально, измеряя время соударения шаров микросекундометром. Значения диаметров шаров приведены в паспорте установки.