Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Механика для МТФ.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.08.2019
Размер:
829.95 Кб
Скачать

1. Кинематика

1. Основные понятия

Материальная точка: тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

Система материальных точек и число степеней свободы м.т. (системы м.т.) – число независимых параметров, необходимых для фиксации ее положения в пространстве. Выбор этих параметров может быть проведен по-разному, однако их число от конкретного выбора не зависит, являясь важнейшей инвариантной характеристикой системы. Чем больше у механической системы степеней свободы, тем сложнее оказывается математический анализ закона ее движения.Материальную точку классической механики можно рассматривать как простейшие механические объекты, обладающие наименьшим числом степеней свободы. Это число совпадает с размерностью реального физического пространства, т.е. равно трем.

Абсолютно твердое тело: тело, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета: тело, относительно которого определяют положение других тел.

Система отсчета: система координат, связанная с телом отсчета и способ измерения времени (часы).

Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку пространства. Зависимость радиуса-вектора от времени определяет кинематический закон движения тела . Это векторное уравнение эквивалентно заданию трёх скалярных уравнений , , , которые также называются кинематическими законами движения.

Компоненты радиус-вектора

В трёхмерном пространстве на плоскости

е диничные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора      - по теореме Пифагора.

Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

Путь - длина отрезка траектории.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение.

Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории

Компоненты скорости

Вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

vx, vy - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени:

; ; . Зная проекции, мы всегда построим вектор скорости.

Средняя скорость. По теореме о среднем имеем:

Средний модуль скорости за время t=t2- t1

Средний вектор скорости за время t=t2- t1

Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора:       .

Вычисление пройденного пути: путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени:

v1 в течение отрезка Δti приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало. В пределе:

,

Ускорение - это производная скорости по времени.

         или:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение - это скорость изменения скорости.

Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор     вдоль вектора скорости:

Тогда

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй, тангенциальное ускорение,

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

Направлен , при , по вектору :

.

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

.

Для движения по произвольной кривой R - радиус кривизны траектории - не будет величиной постоянной.

.

.

Основная задача кинематики: по заданной зависимости ускорения от времени определить закон движения тела (м.т.).

Для одномерного движения:

  1. Из определения ускорения находится скорость как функция времени: . (V0 – константа интегрирования).

  2. Из определения скорости находится координата как функция времени: . (x0 – константа интегрирования).

Таким образом, для нахождения закона движения тела по каждой координате необходимо задать шесть констант – три начальных координаты: x0, y0, z0 и три начальных проекций скорости Vx0, Vy0, Vz0 – всего 6 констант интегрирования, определяющих начальное положение тела (м.т.) – начальные условия.

Для наиболее простого случая , получаем закон равнопеременного движения: – квадратичная зависимость радиуса вектора от времени и линейная зависимость скорости от времени .

Вопрос о зависимости ускорения от времени решается в разделе динамики материальной точки.

Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто.

Выбор системы отсчета.

Нахождение закона движения существенно осложняется, когда речь идет о взаимном расположении движущихся тел – то, с чем мы имеем дело в механике. Если мы хотим не только проследить за взаимным расположением движущихся предметов, но и установить причину их движения, а также определить закон движения, то мы должны выбирать систему отсчета вполне определенным образом. Из всех возможных систем отсчета в механике привилегированную роль играют так называемые инерциальные системы отсчета.

Инерциальную систему отсчета можно определить как систему отсчета, в которой справедливо первое Начало механики (первый закон Ньютона): всякое тело сохраняет состояние покоя или состояние равномерного прямолинейного движения пока какие-либо силы не выведут его из этого состояния. Само первое Начало можно рассматривать как утверждение того факта, что инерциальные системы существуют в природе.

Преимущество инерциальной системы отсчета впервые в истории науки обнаружилось при разрешении спора между сторонниками геоцентрической и гелиоцентрической систем мироздания. Переход от господствовавшей в средние века геоцентрической системы к гелиоцентрической означал переход от неинерциальной системы отсчета к инерциальной и дал возможность не только описывать взаимное расположение небесных тел, но и выяснить причину и законы их движения на основе открытого Ньютоном закона всемирного тяготения.

Понятие инерциальной системы -- это идеализированное понятие. Любая реально выбранная система отсчета всегда имеет какую-то "примесь" неинерциальности. Весь вопрос в том, насколько слабы эффекты, вызываемые неинерциальностью системы отсчета, и можно ли ими пренебречь при решении конкретной задачи. Так, например, система отсчета, связанная с Землей, совершенно непригодна для задач небесной механики, но полностью удовлетворяет нуждам внешней баллистики (расчет полета снарядов). Однако, при расчете движения спутников эффект неинерциальности системы земного отсчета становится уже заметным и может быть учтен как малая поправка.

Если установлено существование некоторой инерциальной системы отсчета, то любая другая система отсчета, движущаяся по отношению к первой прямолинейно с постоянной скоростью, также будет инерциальной. Действительно, совершенно очевидно, что для любой такой системы отсчета будет справедливо первое Начало механики, а это означает, по определению, ее инерциальность.

При переходе от одной инерциальной системы к другой, движущейся относительно ее, скорость материального тела изменяется на величину относительной скорости координатных систем, а ускорение остается неизменным. Вследствие этого, второй закон Ньютона, являющийся основным законом механики, имеет один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Здесь мы подошли к формулировке одного из основных принципов механики.

Принцип относительности Галилея

Законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Это же утверждение можно выразить словами: законы механики инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это ставит инерциальные системы в исключительное положение по сравнению с неинерциальными системами отсчета и обеспечивает их принципиальное преимущество при решении задач механики. Существование инерциальных систем отсчета связано со свойствами пространства и времени. По отношению к неинерциальной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что даже для свободного тела различные положения его в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении неэквивалентны; то же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. различные моменты времени будут неэквивалентными.

Принцип относительности Галилея утверждает, что всегда можно найти такую систему отсчета,по отношению к которой пространство будет однородным и изотропным, а

время – однородным. Эта система и будет инерциальной системой отсчета.