3.Законы сохранения

Механическая система - это совокупность тел, выделенных нами для рассмотрения Внутренние и внешние силы

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют тела системы между собой. Внешние силы действуют со стороны тел, не входящих в систему.

Замкнутая система Замкнутая система - это система, на которую внешние силы не действуют.

Импульс системы материальных точек - это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему

Закон сохранения импульса

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

На рисунке изображена замкнутая система, состоящая из трех тел.

По II закону Ньютона, примененному к каждому телу рассматриваемой замкнутой системы, имеем:

Сложим эти уравнения. Справа, по III закону Ньютона, получим ноль. Слева - производную по времени от полного импульса системы

Производная - ноль, значит, сама величина - константа.

если нет внешних сил (система замкнута).

	рх = const, если Fx = 0, рy = const, если Fy = 0, рz = const, если Fz = 0.

Если система не замкнута, но внешние силы не действуют на неё вдоль каких-либо осей, то соответствующие компоненты импульса сохраняются, например:

	рх = const, если Fx= 0, рy≠ const, если Fy ≠ 0, рz ≠ const, если Fz ≠ 0.

Работа

Работа постоянной силы

Элементарная работа

Работа переменной силы

Единица измерения работы

[A]=[F].[s]= H.м = джоуль, Дж

Мощность P - это скорость совершения работы,

Здесь v - скорость материальной точки, к которой приложена сила .

Единица мощности

Кинетическая энергия (теорема о кинетической энергии)

Применим II закон Ньютона для материальной точки m, движущейся под действием результирующей силы :

Помножим скалярно: слева на - справа на

.

преобразуя левую часть,

получим

.

кинетическая энергия

Таким образом элементарная работа, совершаемая над телом, равна элементарному приращению его кинетической энергии. При интегрировании вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2, мы получим:

Работа результирующей силы идет на приращение кинетической энергии материальной точки (работа совершается за счет убыли кинетической энергии).

Консервативные и неконсервативные силы Консервативные - такие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяются только начальным и конечным положением материальной точки. Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неконсервативными. Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо вычислить ее работу.

Консервативность силы тяжести

На приведенном выше рисунке дан вид сбоку. Точка m движется под действием силы тяжести из 1 в 2. Сила тяжести всегда направлена вниз! вектор перемещения,

.

При любой траектории ответ будет таким же, значит, сила тяжести консервативна.

Неконсервативность силы трения

На рисунке изображен вид сверху на материальную точку m, движущуюся при наличии силы трения из положения 1 в положение 2. Сила трения всегда направлена против скорости cosα = -1.

.

Ответ зависит от выбора траектории, значит, сила трения неконсервативная (т.е. диссипативная).

Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил

Так как их работа не зависит от траектории, а только от начального и конечного положений материальной точки, то эту работу можно записать в виде разности двух чисел: одно - W_n1 - будет зависеть от начального положения тела, второе - W_n2 - от конечного положения тела.

.

W_n1 - потенциальная энергия тела в положении 1; W_n2 - в положении 2.

5.7.1. Некоторые конкретные выражения для потенциальной энергии W_n(r) Для нахождения конкретного вида зависимости W_n(r) необходимо вычислить интеграл от консервативной силы

, .

r₀ – задает начало отсчета потенциальной энергии (т.е. предполагается, что в точке r₀ энергия равна нулю)

В частности, для однородного поля тяжести, где , получим: W_n = mgh. Если - гравитационная сила, то Если - кулоновская сила, то . Если - сила упругости, то .

Закон сохранения механической энергии

Для одной материальной точки, движущейся в поле консервативных сил, Связь работы и кинетической энергии A₁₂ = W_k2 - W_k1,

Связь работы и потенциальной энергии A₁₂ = W_n1 - W_n2.

Отсюда

W_n1 - W_n2 = W_k2 - W_k1

или

W_k1 + Wn1 = W_k2 + W_n2.

В поле консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки остается постоянной, т.е. сохраняется.

- полная энергия материальной точки.

Полная энергия материальной точки в поле консервативных сил сохраняется.

Полная энергия системы материальных точек Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой материальных точек, полная энергия

,

где W_{п i, k} - потенциальная энергия взаимодействия i -й материальной точки с k-й материальной точкой. W_п - потенциальная энергия взаимодействия всех частиц системы между собой.

Закон сохранения энергии для системы материальных точек Если система материальных точек находится во внешнем поле консервативных сил, то еЈ полная механическая энергия

,

где W'_п - потенциальная энергия системы во внешнем поле. Полная механическая энергия системы материальных точек, находящейся только под действием консервативных сил, остается постоянной. При наличии неконсервативных (диссипативных) сил полная механическая энергия системы не сохраняется, ее убыль равна работе неконсервативных сил.

Закон изменения	Закон сохранения
Импульс системы материальных точек	при условии
Энергия системы материальных точек A–работа сил трения и внешних не консервативных сил	U1+T1= U2+T2 при условии A=0
Момент импульса системы материальных точек	при условии