Достаточность. Пусть f(x) имеет производную f0(a) в точке a, т. е. существует конеч- ный предел

f(a) = f0(a) x + ( x) x = f0(a) x + o( x) ïðè x ! 0:

Теорема доказана.

Замечание 24.1. Теорема 24.4.2 говорит о равносильности понятий функция дифференцируема в точке и функция имеет в этой точке производную . Вычисление производной называют дифференцированием функции.

24.5.Дифференциал функции

Если для приращения функции f справедливо представление (24.5), то слагаемое A x называют л и н е й н о й ч а с т ь ю приращения f.

Определение 24.4. Если функция f дифференцируема в точке x, то линейную часть приращения f называют д и ф ф е р е н ц и а л о м ф у н к ц и и f в этой точке и обозна- чают df или df(x).

Таким образом,

df(x) = f0(x) x:

В общем случае df 6= f, так как приращение f имеет ещ¼ слагаемое o( x). Дифференциал независимой переменной dx есть ее приращение x:

dx = x:

Действительно, рассмотрим приращение функции f(x) = x. Поскольку f0(x) = 1, то линейная часть приращения f, а значит и дифференциал независимой переменной есть

df(x) = dx = 1 x = x:

Используя дифференциал независимой переменной дифференциал функции f можно

записать так:

df = f0(x)dx:

Отсюда

f0(x) = dxdf :

Следовательно, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Выражение df=dx рассматривают также как другое обозна-

чение производной. Этим обозначением пользовался Г. Лейбниц.