Лекция 24. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
24.1.Производная
Пусть функция y = f(x) задана в некоторой окрестности точки x0. Придадим аргу- менту x0 приращение x такое, что точка x = x0 + x принадлежит этой окрестности, и рассмотрим приращение функции, соответствующее приращению аргумента x
y = f(x0) = f(x) f(x0) = f(x0 + x) f(x0):
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента и поставим вопрос о существовании предела этого отношения при x ! 0.
Определение 24.1. Говорят, что функция y = f(x) имеет в точке x0 производную, если существует конечный предел
lim |
f(x0) |
: |
(24.1) |
|
x |
||||
x!0 |
|
|
Значение этого предела обозначают f0(x0) и называют п р о и з в о д н о й ф у н к ц и и f т о ч к е x0.
Обозначение f0(x) для производной функции f в точке x вв¼л Ж. Лагранж. Очевидно, справедливо равенство
lim |
f(x0) |
= lim |
f(x) f(x0) |
; |
|
||||
|
|
|
|
||||||
x!0 |
x |
x!x0 |
x x0 |
|
|
|
|||
поэтому, если существует этот предел, то |
|
|
|
|
|
|
|||
f0(x0) = lim |
f(x0 + x) f(x0) |
= lim |
f(x) f(x0) |
: |
|||||
x!0 |
x |
x!x0 |
|
x x0 |
|||||
24.2.Производные некоторых основных элементарных функций
1.Если функция f равна константе, т. е. при всех x принимает одно и то же значение C, то f = 0 и, таким образом, C0 = 0.
2.Найд¼м производную степенной функции с целым показателем, т. е. функции y = xn, когда n целое число. Используя формулу бинома Ньютона, можем записать:
f(x0) = (x0+ x)n xn = xn + nxn 1 x + n(n 1)xn 2( x)2 + : : : + ( x)n
0 0 0 2 0
|
= nx0n 1 x + |
n(n 1) |
x0n 2 |
( x)2 |
+ : : : + ( x)n: |
|
|||||
Таким образом, при x 6= 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(x0) |
= nx0n 1 |
+ |
n(n 1) |
x0n 2 |
( x) + : : : + ( x)n 1 |
: |
||||
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
xn0 =
(24.2)
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
Поскольку все слагаемые в правой части (24.2), начиная со второго, содержат в качестве множителя x в положительных стестепенях, существует предельное зна-
чение указанных слагаемых при x ! 0, равное нулю. Первое слагаемое в правой части (24.2) от x не зависит. Стало быть, существует предельное значение (при
x ! 0) правой части (24.2)), равное nxn 1
0 . По определению производной указанное предельное значение равно производной функции y = xn ò. å.
(xn)0 = nxn 1:
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки x0 действительной прямой.
3.Найд¼м производную степенной функции с действительным показателем, т. е. функции y = x , где 2 R, в области определения x > 0.
Так как для любой точки x0 > 0 справедливо соотношение эквивалентности
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(1 + |
|
|
|
) 1 |
|
|
|
|
|
ïðè |
x ! 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x0 |
|
x0 |
|
|
|
|
|||||||||
è |
|
|
|
|
= x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
x 0 |
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|||
lim |
(x0 + x) |
|
x0 |
|
|
lim |
x0 |
(1 + x0 |
) |
|
= lim |
x0 |
x0 |
= x 1; |
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|||||
òî |
|
|
|
|
(x )0 = x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
äëÿ âñåõ x > 0: |
|
|
|
||||||||||||
4.Найд¼м производную показательной функции y = ax, a > 0, a 6= 1. Òàê êàê a x 1 x ln a ïðè x ! 0 è
x!0 |
x |
|
x!0 |
|
x |
|
x!0 |
x |
= |
|
|
|
lim |
ax0+ x |
ax0 |
= lim |
ax0 |
a x 1 |
|
= |
lim |
ax0 x ln a |
|
ax0 |
ln a: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, при всех x
(ax)0 = ax ln a:
В частности, если a = e, то
(ex)0 = ex:
5.Производные тригонометрических функций y = sin x, y = cos x. Для y = sin x имеем
f(x0) = sin(x0 + x) sin x0 |
= 2 sin 2 |
cos x0 |
+ 2 |
|
: |
||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
В силу первого замечательного предела и непрерывности функции cos x получаем
lim |
2 sin 2x cos x0 + 2x |
|
= |
lim |
sin ( x=2) |
|
lim cos |
|
x |
|
+ |
x |
|
= cos x |
: |
||
x |
|
x=2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
x!0 |
|
x!0 |
x!0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x)0 = cos x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24.3) |
|||
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично вычисляется производная функции y = cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f(x0) = cos(x0 + x) cos x0 = 2 sin |
2 sin x0 + |
2 |
: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
В силу первого замечательного предела и непрерывности функции sin x получаем |
|||||||||||||||||
lim |
2 sin 2x sin |
x0 + 2x |
|
lim |
sin ( x=2) |
|
lim sin |
x |
|
x |
|
x |
: |
||||
x |
|
|
x=2 |
|
|
0 + |
|
2 |
|
|
= sin |
||||||
x!0 |
= x!0 |
x!0 |
|
|
0 |
|
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
(cos x)0 = sin x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24.4) |
|||||
Равенства (24.3) è (24.4) имеют место при всех x.
24.3.Односторонние производные
Определение 24.2. Если функция f определена в некоторой правой окрестности точки
x0 и существует односторонний предел
lim f(x0);
x!+0 x
то этот предел называют п р а в о й о д н о с т о р о н н е й п р о и з в о д н о й ф у н к -
ö è è f â ò î ÷ ê å x0 и обозначают f+0 (x0). |
|
|
|
Если функция f определена в некоторой левой окрестности точки x0 |
и существует |
||
односторонний предел |
|
|
|
lim |
f(x0) |
; |
|
|
|
||
x! 0 |
x |
|
|
то этот предел называют л е в о й о д н о с т о р о н н е й п р о и з в о д н о й |
ô ó í ê ö è è |
||
f â ò î ÷ ê å x0 и обозначают f0 (x0). |
|
|
|
Слово односторонней при этом часто опускают и говорят о правой производной или производной справа, соответственно, о левой производной или производной слева.
Очевидно, что производная функции в точке существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют односторонние производные, равные между собой.
Пример 24.1. Для функции f(x) = jxj найти односторонние производные в точке 0. Имеет ли эта функция производную в точке 0?
Имеем
f+0 (0) = lim |
j0 + xj 0 |
= |
lim |
x |
= 1 |
|
x |
x |
|||||
x!+0 |
|
x!+0 |
|
è |
|
|
|
|
|
j0 + xj 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
f0 |
(0) = |
lim |
|
= |
|
|
lim |
|
= |
|
1: |
|||||||||||||
|
|
x |
! |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
! |
0 |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f(0) |
6= |
lim |
|
|
f(0) |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
! |
+0 x |
x |
! |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
то не существует предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f(0) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, не существует производной функции f(x) = jxj в точке 0.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
24.4.Дифференцируемость функции в точке
Определение 24.3. Пусть функция y = f(x) определена в U(a) окрестности точки a. Дадим приращение x аргументу функции f в точке a такое, чтобы x = a + x 2 U(a). Если соответствующее приращение f в этой точке можно представить в виде
f(a) = A x + o( x); |
(24.5) |
где A некоторое число, o( x) бесконечно малая более высокого порядка малости, чемx при x ! 0, то функцию f называют д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в т о ч к е a.
Иногда приращение f нужно рассматривать и при x = 0. Тогда считают, что приx = 0 слагаемое o( x) в формуле (24.5) равно нулю.
Лемма 24.4.1. Бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x представля-
åòñÿ â âèäå
o( x) = ( x) x ïðè x ! 0
тогда и только тогда, когда lim ( x) = 0:
x!0
Доказательство. Если ( x) x = o( x), то по определению бесконечно малой более высокого порядка имеем
lim o( x) = 0;
x!0 x
следовательно,
lim ( x) = |
lim |
( x) x |
= 0: |
|
x |
||||
x!0 |
x!0 |
|
Обратно, пусть теперь lim ( x) = 0: Тогда
x!0
lim ( x) x = lim ( x) = 0;
x!0 x x!0
т. е. ( x) x = o( x). Лемма доказана.
Пример 24.2. Исследовать по определению 24.3, является ли функция f(x) = x2 äèô- ференцируемой в некоторой произвольной точке a 2 R.
Запишем приращение функции f в точке a:
f(a) = (a + x)2 a2 = 2a x + x x = 2a x + o( x):
Согласно (24.5) функция f(x) = x2 дифференцируема в любой точке действительной прямой.
Теорема 24.4.2. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x = a, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную f0(a).
Доказательство. Необходимость. Если f(x) дифференцируема в точке x = a, то при-
ращение функции в этой точке представляется в виде (24.5). Разделим обе части (24.5) íà
x:
f(a) = A + o( x):
x x
Устремим x ! 0, получим, что функция f имеет в точке a производную, равную A:
f0(a) = A: