8111 лекции 1-36 / Лекция26.Вычисление_производных_I
.pdf
Лекция 26. Вычисление производных (Часть 1)
26.1.Правила вычисления производных, связанные с
арифметическими действиями над функциями
Теорема 26.1.1. Пусть функции u è v имеют производные в точке x. Тогда существуют следующие производные и для них справедливы равенства
1. u(x) v(x) 0 = u0(x) v0(x);
2. u(x)v(x) 0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x);
3. åñëè v(x) 6= 0, òî u(x) 0 = u0(x)v(x) u(x)v0(x): v(x)
Доказательство.
1.Запишем приращение арифметической суммы функций u(x) и v(x), соответствующее приращению x:
(u v) = u(x + x) v(x + x) u(x) v(x) = u v:
Поэтому
(u v) = u v :
x x x
Дроби в правой части этого равенства при x ! 0 имеют пределы, поэтому
lim |
(u v) |
= |
lim |
u |
|
lim |
|
|
v |
= u0(x) |
|
v0 |
(x) |
||
x |
x |
0 |
x |
||||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
x |
! |
|
|
|
||||||||
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.Запишем приращение произведения функций u(x) и v(x), соответствующее приращению x:
(uv) = u(x + x)v(x + x) u(x)v(x):
Так как u = u(x + x) u(x), то u(x + x) = u(x) + u: Поэтому
(uv) = u(x) + u v(x) + v u(x)v(x) = u v(x) + u(x) v + u v:
Значит,
(uv) |
= |
u |
v(x) + u(x) |
v |
+ |
u |
v: |
x |
|
x |
x |
||||
|
x |
|
|
||||
При x ! 0 в силу непрерывности функции v имеем v ! 0. Поэтому каждое слагаемое в правой части полученного равенства имеет предел при x ! 0. Таким образом,
lim (uv) = u0(x)v(x) + u(x)v0(x):
x!0 x
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
3.Сначала рассмотрим случай, когда u(x) 1, т. е. найд¼м производную дроби 1=v(x).
Так как функция v в точке x непрерывна и v(x) 6= 0, то v не обращается в нуль в некоторой окрестности точки x. Поэтому при достаточно малых приращениях x
имеем
v |
|
v(x + x) |
v(x) |
|
|
v(x + x)v(x) |
|
|
v(x + x)v(x) |
|
||||||
|
1 |
= |
1 |
|
|
|
1 |
|
= |
v(x) v(x + x) |
= |
|
v |
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
v : x = v(x + x)v(x) |
x: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение в правой части этого равенства имеет предел при x ! 0. Значит, существует предел выражения в левой части и, таким образом,
1 0 = v0(x) : v v2(x)
Теперь с помощью формулы производной произведения находим производную частного в общем случае:
|
u(x) |
0 = u(x) |
1 |
|
0 |
= u0(x) |
1 |
|
u(x) |
v0(x) |
= |
u0(x)v(x) u(x)v0(x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
v(x) |
v(x) |
|
|
v(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
v2(x) |
|
v2(x) |
|
|
|||||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отметим, что представление дроби |
|
в виде произведения u(x) |
|
|
нередко ис- |
||||||||||||||
v(x) |
v(x) |
||||||||||||||||||
пользуется, когда нужно найти производную дроби.
Следствие 26.1.2. Пусть функция u имеет производную в точке x, c некоторая
постоянная, тогда
c u(x) 0 = c u0(x):
Пример 26.1. Производные функций y = tg x è y = ctg x. Так как нами уже вычислены производные функций y = sin x и y = cos x и так как
tg x = |
sin x |
; |
ctg x = |
cos x |
; |
|
cos x |
sin x |
|||||
|
|
|
|
то для вычисления производных функций y = tg x и y = ctg x можно воспользоваться теоремой 26.1.1 (точнее, формулой, выражающей производную частного).
(tg x)0 |
= |
|
(sin x)0 |
cos x sin x (cos x)0 |
= |
|
1 |
; |
|
|
|
cos2 x |
cos2 x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
(ctg x)0 |
= |
(cos x)0 |
sin x cos x (sin x)0 |
= |
1 |
|
: |
|||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
sin2 x |
|||||
Равенства эти справедливы при всех x из области определения тангенса и, соответственно, котангенса.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
26.2.Производная обратной функции
Теорема 26.2.1. Если функция y = f(x) в некоторой окрестности точки x0 непрерывна, строго монотонна и имеет неравную нулю производную f0(x0), то обратная функция
x = f 1(y) имеет в точке y0 = f(x0) производную |
df 1 |
(y0) и справедливо равенство |
|||||
dy |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
df 1 |
(y0) = |
1 |
|
: |
(26.1) |
||
|
|
|
|||||
|
dy |
f0(x0) |
|||||
Доказательство. Если функция y = f(x) на интервале (a; b) непрерывна и строго монотонна и (c; d) образ интервала (a; b) при отображении, осуществляемом функцией f, то согласно теореме 21.5.1 на (c; d) существует обратная f функция x = f 1(y). Ýòà
функция также непрерывна и строго монотонна.
Непрерывность функции y = f(x) в точке x0 означает, что из x ! 0 следует, чтоy = f(x0 + x) f(x0) ! 0. А непрерывность функции x = f 1(y) означает, что из
y ! 0 следует x = f 1(y0 + y) f 1(y0) ! 0.
Таким образом, условия x ! 0 и y ! 0 равносильны.
Придадим аргументу y обратной функции в точке y0 произвольное отличное от нуля приращение y. Этому приращению отвечает приращение x обратной функции, причем
в силу строгого возрастания (или убывания) функции |
x = f 1(y) приращение x = 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
Таким образом, мы имеем право написать следующее тождество: |
||||||
|
x |
= |
|
1 |
: |
(26.2) |
|
|
y= x |
||||
|
y |
|
|
|||
Пусть теперь в тождестве (26.2) y ! 0. Пользуясь равносильностью условий y ! 0 и x ! 0, из (26.2) находим
lim |
x |
= |
lim |
1 |
= |
1 |
|
= |
1 |
: |
|||
y |
y= x |
lim ( y= x) |
f0(x0) |
||||||||||
y |
! |
0 |
|
x 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||
x!0
Тогда по определению производной
lim |
x |
= |
df 1 |
(y0) = |
1 |
; |
|
y |
dy |
f0(x0) |
|||||
y!0 |
|
|
|
что и требовалось доказать.
Åñëè f0(x0) = 0, формула (26.1) не имеет смысла. Выясним, что можно сказать о производной обратной функции в этом случае.
Если функция f строго возрастает, то приращения y и x имеют одинаковые знаки. Поэтому их отношение положительно и, переходя в (26.2) к пределу при y ! 0 (или, что то же самое, при x ! 0), видим, что
lim |
x |
= |
lim |
|
1 |
= + : |
||||
y |
0 |
y= x |
||||||||
y |
! |
0 |
x |
! |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А если f строго убывает, то отношение приращений y и x отрицательно. Значит, в этом случае
lim x = 1:
y!0 y
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
Таким образом, можно считать, что формула (26.1) справедлива и при f0(x0) = 0, если договориться, что в этом случае она означает существование бесконечной производной обратной функции, равной +1 или 1 в зависимости от того, возрастает или убывает
функция f.
В соответствии с этим соглашением считают, что если существует одна из производных dfdy1 (y0), конечная или бесконечная, то существует и другая производная и их
значения связаны соотношением (26.1).
Используем формулу производной обратной функции для вычисления производных элементарных функций.
Пример 26.2. Производные логарифмической и обратных тригонометрических функций.
1.Так как логарифмическая функция является обратной показательной функции, производную которой мы знаем, то по формуле (26.1y) найдем производную логарифми-
ческой функции. Если y = loga x, òî x = ay è |
da |
= ay ln a. Поэтому согласно (26.1) |
||||||||
dy |
||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
1 |
|
|||||||
(loga x)0 |
|
|||||||||
= |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
||
day=dy |
|
|
|
|
||||||
|
|
ay ln a x ln a |
||||||||
для всех x 2 R: В частности, при a = e имеем
(ln x)0 = x1 :
2. Пусть y = arcsin x, x 2 [ 1; 1]. Тогда x = sin y, y 2 [ =2; =2]. Значит,
(arcsin x)0 = |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
p |
|
: |
(26.3) |
|
(sin y)0 |
cos y |
p |
|
|||||||||
1 sin2 y |
1 x2 |
|||||||||||
3.Аналогично находим производную функции y = arccos x, x 2 [ 1; 1]. Имеем x = cos y, y 2 [0; ], и
(arccos x)0 = |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||
|
= |
|
= |
|
|
= p |
|
: |
(26.4) |
|
(cos y)0 |
sin y |
p |
|
|||||||
1 cos2 y |
1 x2 |
|||||||||
Равенства (26.3) è (26.4) справедливы при всех x 2 [ 1; 1]. Они показывают, что при x = 1 существуют бесконечные односторонние производные.
4. |
Если y = arctg x, то x = tg y и согласно (26.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
cos2 y |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
(arctg x)0 = |
|
|
= cos2 y = |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|||
|
(tg y)0 |
cos2 y + sin2 y |
1 + tg2 y |
1 + x2 |
|||||||||||
|
äëÿ âñåõ x 2 R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Аналогично для y = arcctg x находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
sin2 y |
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
(arcctg x)0 = |
|
= |
sin2 y = |
|
= |
|
= |
|
||||||
|
(ctg y)0 |
cos2 y + sin2 y |
1 + ctg2 y |
1 + x2 |
|||||||||||
äëÿ âñåõ x 2 R: