Лекция 30. Производные и дифференциалы высших порядков

30.1.Производные высших порядков

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Производную f0(x) называ-

ют п р о и з в о д н о й п е р в о г о п о р я д к а или п е р в о й п р о и з в о д н о й функции f(x). Если первая производная f0(x) дифференцируема на интервале (a; b),то ее произ-

водную называют в т о р о й п р о и з в о д н о й или п р о и з в о д н о й в т о р о г о п о - р я д к а функции f(x) на интервале (a; b) . Для производной второго порядка приняты

следующие обозначения:

Производная третьего порядка f000(x) вводится как первая производная производной второго порядка f00(x) è ò. ä.

Определение 30.1. П р о и з в о д н о й п о р я д к а n, функции f(x) называется первая производная производной порядка n 1, т. е. по определению

Функция может иметь производную первого порядка, но не иметь производной второго порядка. Например, если y = xjxj, то y0 = 2jxj. Значит, функция xjxj не имеет производной

второго порядка в нуле.

Можно указать функции, имеющие в точке производную порядка n > 1, у которых в этой точке нет производной порядка n + 1.

Основные элементарные функции имеют производные любого порядка в своей естественной области определения. Например,

(ax)(n) = ax(ln a)n; (cos x)(n) = cos x + 2n ;

(xa)(n) = a(a 1) : : : (a n + 1)xa n:

О производных степенной функции отметим, что если положительное число a не целое, то функция xa имеет в нуле производные справа до порядка [a] включительно, но не имеет конечной производной порядка [a] + 1.

Если в некоторой точке или в каждой точке некоторого промежутка функция имеет производную второго порядка, функцию называют д в а ж д ы д и ф ф е р е н ц и р у е - м о й соответственно в точке или на промежутке. Если при этом производная второго порядка непрерывна, то говорят, что функция д в а ж д ы н е п р е р ы в н о д и ф ф е - р е н ц и р у е м а.

Функции, имеющие производные любого порядка, называют б е с к о н е ч н о д и ф - ф е р е н ц и р у е м ы м и соответственно в точке или на промежутке. Заметим, что бесконечно дифференцируемая в точке функция является бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки.

1

Если функции u = u(x) è v = v(x) имеют производные порядка n, то функции u(x) + v(x), где и постоянные, и u(x)v(x) также имеют производные порядка n, причем справедливы равенства

Последняя формула называется формулой Лейбница 1.

Доказательство. Докажем формулу Лейбница по индукции. При n = 1 форму-

ëà (30.2) имеет вид

1

X

(uv)0 = C1ku(k)v(1 k) = uv0 + u0v;

k=0

т. е. это выражение первой производной произведения двух функций. Теперь, пользуясь равенством (30.2) для n = m, m 2 N, докажем его при n = m + 1.

=1

Учитывая свойства биномиальных коэффициентов

Cmi + Cmi 1 = Cmi +1; Cm0 = 1 = Cm0 +1; Cmm = 1 = Cmm+1+1;

получим формулу (30.2) для n = m + 1. Таким образом, на основании принципа мате-

матической индукции можно заключить, что равенство (30.2) справедливо при любом натуральном n. Формула Лейбница доказана.

Д/З: Доказать формулу (30.1) самостоятельно.

30.2.Производные высших порядков параметрически заданной функции

Ранее в лекции 27 было установлено, что производная функции y = f(x), задаваемой параметрическими уравнениями

1Сравните формулу Лейбница с формулой бинома Ньютона (cм. практику 2).

2

Если функция (t) имеет производную по t (так будет во всяком случае, когда существуют вторые производные x00(t) è y00(t)), то производная функции, заданной уравнения-

ìè (30.4), является второй производной fxx00 функции f(x), заданной уравнениями (30.3). fxx00 также задается параметрически уравнениями

Подобным образом можно находить производные функции f(x) и более высокого порядка,

30.3.Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Ее дифференциал

который называют также ее п е р в ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м, зависит от двух переменных: x и dx. Пусть производная f0(x) также дифференцируема на интервале (a; b).

Тогда при фиксированном dx дифференциал dy является функцией только x, для которой также можно вычислить дифференциал:

d (f0(x)dx) = d(f0(x)) dx = f00(x) x dx;

причем в качестве приращения x независимой переменной x берется то же самое приращение, которое было выбрано при нахождении первого дифференциала функции f(x), т. е. dx. Вычисленный при этом условии дифференциал от первого дифференциала называется в т о р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м или д и ф ф е р е н ц и а л о м в т о р о г о

ïо р я д к а функции f(x) и обозначается d2y èëè d2f. Таким образом, по определению

d2y = d(dy) = d (f0(x)dx) = d(f0(x)) dx = f00(x)dx dx = f00(x)(dx)2:

Квадрат дифференциала независимой переменной (dx)2 принято обозначать dx2, ò. å. dx считается единым символом, который возводится в квадрат. C учетом этого обозначе- ния второй дифференциал функции y = f(x), где x независимая переменная находится по формуле

Аналогично, в случае, когда функция y = f(x) на интервале (a; b) имеет производную порядка n, определяется n-й дифференциал функции f(x).

3

Определение 30.2. Д и ф ф е р е н ц и а л о м n - г о п о р я д к а функции f(x) называется первый дифференциал от (n 1)-го дифференциала при условии, что при вычислении первого дифференциала в качестве приращения x берется то же приращение dx, которое выбиралось при вычислении (n 1)-го дифференциала:

ãäå dxn обозначает n-ю степень дифференциала независимой переменной, равного ее при-

ращению.

Дифференциал n-го порядка независимой переменной x при n > 1 по определению

считается равным нулю, т. е.

dnx = 0 ïðè n > 1:

Теорема 30.3.1. Если для функций u(x) è v(x) дифференциалы dnu è dnv существуют, то функции u(x) + v(x), где и постоянные, и u(x)v(x) также имеют дифференциалы n-го порядка, причем справедливы равенства

dn ( u + v) = dnu + dnv;

n

X

dn(uv) = Cnkdku dn kv:

k=0

Доказательство этой теоремы можно провести аналогично доказательству теоремы 30.1.1 методом математической индукции.

30.4.Дифференциалы высших порядков сложной функции

Заметим, что формула (30.8) и формула (30.9) при n > 1 справедливы только тогда, когда x является независимой переменной.

Формула (30.8) для сложной функции обобщается с учетом свойства инвариантности формы первого дифференциала следующим образом:

d2y = d(dy) = d (f0(x)dx) = d (f0(x)) dx + f0(x)d (dx) = f00(x)dxdx + f0(x)d2x;

ò. å.

Сравнение формул (30.8) è (30.10) показывает, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности его представление зависит от того, выражен он через диф-

ференциалы независимой переменной или через дифференциалы зависимой переменной. Формула (30.8) получается из формулы (30.10), когда x независимая переменная и,

соответственно, d2x = 0.

Найд¼м ещ¼ выражение третьего дифференциала через дифференциалы зависимой

переменной. Имеем

d3y = d(d2y) = d f00(x)dx2 + f0(x)d2x =

4

= d (f00(x)) dx2 + f00(x)d dx2 + d (f0(x)) d2x + f0(x)d d2x :

Здесь d (dx2) вычисляем с помощью свойства инвариантности формы первого дифференциала. Обозначим u = dx, тогда

d dx2 = d(u2) = 2udu = 2dxd(dx) = 2dxd2x:

Окончательно получим

d3y = f000(x)dx3 + f00(x)2dxd2x + f00(x)dxd2x + f0(x)d3x =

Запоминать формулы (30.10) è (30.11) нет необходимости, рекомендуется выводить их заново каждый раз, когда они нужны.

5