8111 лекции 1-36 / Лекция34.Монотонность и экстремум

Лекция 23. Монотонность и экстремум

23.1.Условия монотонности функции на интервале

Прежде всего, напомним определения монотонности функции на интервале.

Определение 23.1. Говорят, что функция f(x) монотонно возрастает (убывает) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 è x2 интер- вала (a; b), удовлетворяющих условию x1 < x2 справедливо неравенство

Определение 23.2. Говорят, что функция f(x) строго монотонно возрастает (убывает) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 è x2 интервала (a; b), связанных условием x1 < x2 справедливо неравенство

Рис. 1: Строго возрастающая функция.

Теорема 23.1.1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция f(x) монотонно возрастала (убывала) на этом интервале, необ-

ходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство. 1). Достаточность. Пусть f0(x) 0 ( 0) всюду на интервале (a; b). Требуется доказать, что f(x) монотонно возрастает

1

Рис. 2: Строго убывающая функция.

(убывает) на интервале (a; b). Пусть x1 è x2 любые две точки интервала (a; b), удовлетворяющие условию x1 < x2. Функция f(x) дифференцируема (а стало быть, и непрерывна) всюду на отрезке [x1; x2]. Поэтому к f(x) можно применить на отрезке [x1; x2] теорему Лагранжа, в результате чего получим

ãäå x1 < < x2.

По условию f0(x) 0 ( 0), x2 x1 > 0. Поэтому правая часть (3) неотрицательна (неположительна), что и доказывает монотонное возрастание (убывание) f(x) на интервале (a; b).

2). Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и монотонно возрастает (убывает) на этом интервале. Требу-

èв пределе знак не строгого неравенства сохраняется, то f(x1) 0, ÷òî

èтребовалось доказать.

Пример 23.1. Исследовать функцию

Функция f(x) дифференцируема (следовательно и непрерывна) на отрезке [0; 2 ]. В специальной проверке нуждается лишь существование

2

производной в точке x = 0. Применяя, например, дважды правило Лопиталя, получаем

23.2.Экстремум функции.

Определение 23.3. Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки c. Говорят, что функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки c, что для любого x 6= c из этой окрестности f(c) f(x) (f(c) f(x)).

Говорят, что функция f(x) имеет в точке c строгий локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки c, что для любого x 6= c из этой окрестности f(c) > f(x) (f(c) < f(x)).

Рис. 3: Локальный максимум.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим название экстремум.

3

Рис. 4: Локальный минимум.

Теорема 23.2.1. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Если функция f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точ- ке экстремум, то f0(c) = 0.

Доказательство. Пусть c точка максимума функции f(x). Тогда существует "-окрестность точки c такая, что f(x) f(c) при c " < x < c + ". Возьмем любое x удовлетворяющее условию c " < x < c. Тогда

x c < 0, f(x) f(c) 0, следовательно f(x) f(c) 0. Поскольку f0(x) =

x c

f(x) f(c)

x c и знак нестрогого неравенств в пределе сохраняется, то f0(x) 0. Возьмем любое x удовлетворяющее условию c < x < c + ".

Тогда x c > 0, f(x) f(c) 0, следовательно 0. Поскольку из

f0(x) = limx!c f(x) f(c) f0(x) x c и знак неравенства в пределе сохраняется,

0. Объединяя неравенства получим f0(c) = 0, что и требовалось доказать. Первое достаточное условие экстремума.

Определение 23.4. Пусть функция f(x) определена в окрестности точ- ки c всюду, кроме, может быть самой точки c. Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c с плюса на минус, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) 0 при c " < x < c и f(x) 0 при c < x < c + ".

Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c с минуса на плюс, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) 0 при c " < x < c и f(x) 0 при c < x < c + ".

Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c

ñплюса на минус строго, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) > 0 при c " < x < c и f(x) < 0 при c < x < c + ".

Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c

ñминуса на плюс строго, если существует "-окрестность точки c такая,

4

÷òî f(x) < 0 ïðè c " < x < c è f(x) > 0 ïðè c < x < c + ".

Теорема 23.2.2. Первое достаточное условие экстремума.

Пусть точка c является точкой возможного экстремума функции f(x), и пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c. Тогда, если при переходе через точку c производная f0(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум). Если при переходе через точку c функция f0(x) знак не меняет, то экстремума в точке c нет.

Доказательство. 1). Пусть сначала производная f0(x) в пределах окрестности точки c положительна (отрицательна) слева и отрицательна (положительна) справа от c. Требуется доказать, что значение f(c) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений f(x) в рассматриваемой окрестности. Обозначим x0 любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности, отличное от c. Достаточно доказать, что f(c) f(x0) > 0. Функция f(x) дифференцируема (а стало быть, и непре-

где - некоторое значение аргумента между c и x0. Поскольку произ- водная f0( ) меняет знак при переходе через точку c с минуса на плюс

(с плюса на минус), выражение в правой части равенства f0( )(c x0)

положительно (отрицательно).

2). Пусть теперь производная f0(x) не меняет свой знак при переходе через точку c. Обозначая чрез x0 любое значение аргумента, отличное от c, и повторяя проведенные выше рассуждения, можно доказать, что выражение в правой части равенства f0( )(c x0) имеет разные знаки при x0 < c è ïðè x0 > c. Это доказывает отсутствие экстремума в точке

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция f(x) имеет в данной точке c возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке c максимум, если f00(x) < 0, и минимум, если f00(x) > 0.

Доказательство. Пусть f00(c) > 0. Так как в точке c выполняется необходимое условие экстремума, то f0(c) = 0. Тогда по формуле Тейлора

5

В достаточно малой окрестности точки c второе слагаемое правой

части этого равенства н влияет н знак суммы. Следовательно в этой окрестности f(x) f(c) > 0 при x 6= c, то есть f(x) > f(c), откуда вы-

текает, что c-точка минимума. При f00(c) < 0 аналогично доказывается, что c-точка максимума.

Пример 23.2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = xm(1 x)n, ãäå x 2 R, m; n 2 N.

Находим производную функции f и приравниваем е¼ к нулю

будут точками возможного экстремума. Проверим достаточные условия. Пусть 0 < " < mm+n . Ïðè m четном f0( ") < 0, f0(") > 0, следователь-

но в точке x1 = 0 функция f(x) имеет минимум, равный нулю. Аналогично для точки x2 = 1: при n четном f0(1 ") < 0, f0(1+") > 0,

поэтому функция f(x) в этой точке имеет минимум, равный нулю; при

Случай, когда m = 1 (n = 1), рассмотреть самостоятельно.

6