Лекция 11. Монотонные последовательности и их свойства; число e

11.1.Предел монотонной последовательности

Определение 11.1. Последовательность fang называется в о з р а с т а ю щ е й, если при всех n

an an+1:

Последовательность fang называется у б ы в а ю щ е й, если при всех n

an an+1:

Таким образом, возрастание и убывание последовательности не обязательно являются строгими. Если же an < an+1, соответственно, an > an+1 для всех n, то будем говорить о с т р о г о м в о з р а с т а н и и и с т р о г о м у б ы в а н и и последовательности.

Определение 11.2. Последовательность fang называется м о н о т о н н о й, если она возрастает или убывает.

Последовательность fang называется с т р о г о м о н о т о н н о й, если она строго возрастает или строго убывает.

Мы уже знаем, что если последовательность ограничена сверху (снизу), то это означает ограниченность сверху (снизу) м н о ж е с т в а значений fang и, следовательно, существует точная верхняя грань = supfang (точная нижняя грань = inffang) этого множества. Сформулируем известные определения1 точных граней применительно к последовательностям.

Определение 11.3. = supfang, åñëè

lim an = supfang:

n!1

Доказательство. Так как последовательность fang ограничена сверху, то существует точная верхняя грань = supfang. Покажем, что является пределом последовательности fang.

1См. Лекцию 3.

1

Поскольку точная верхняя грань, то an при всех n и для каждого " > 0 существует член последовательности ap такой, что ap > " в силу определения (11.3). Тогда, так как fang монотонно возрастающая, для всех n > p имеем

" < ap an :

Таким образом, при всех n > p выполняются неравенства

" < ap :

Значит, = lim an, что и требовалось доказать.

n!1

Теорема 11.1.2. Если монотонно убывающая последовательность fang ограничена снизу, то она сходится. При этом

lim an = inffang:

n!1

Д/З: Доказательство провести самостоятельно.

Следствие 11.1.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Теорема 11.1.4. Если монотонно возрастающая последовательность fang неограни- ченная сверху, то она расходится. При этом

lim an = +1:

n!1

Доказательство. Если последовательность fang не является ограниченной сверху, то для любого E > 0 существует число q такое, что aq > E.

В силу возрастания последовательности отсюда следует, что при всех n > q выполняются неравенства

Теорема 11.1.5. Если монотонно убывающая последовательность fang неограниченная снизу, то она расходится. При этом

lim an = 1:

n!1

Д/З: Доказательство провести самостоятельно.

Пример 11.1. В качестве примера приведем один из способов доказательства замеча-

тельного предела

lim qn = 0 ïðè jqj < 1:

n!1

Пусть сначала 0 < q < 1. Тогда fqng убывающая ограниченная снизу последовательность. Значит, она и м е е т п р е д е л, обозначим его a.

Очевидно, что последовательность fqn+1g имеет этот же предел2: lim qn+1 = a è ïî

n!1

теореме о пределе произведения последовательностей

2

11.2.Число e

с в е р х у. Воспользовавшись биномом Ньютона, разложим общий член последовательности и оценим его сверху:

Здесь использовали формулу суммы членов бесконечно убывающей прогрессии. Согласно теореме 11.1.1 последовательность f 1 + n1 ng сходится.

Следуя Леонарду Эйлеру, предел последовательности f 1 + n1 ng обозначают буквой e:

lim 1 + 1 n = e:

n!1 n

Это выражение числа e называют еще в т о р ы м з а м е ч а т е л ь н ы м п р е д е -

ë î ì.

Наряду с число e является одной из наиболее важных констант в математике. Также как и , число e иррациональное, т р а н с ц е н д е н т н о е4.

3См. практику 2, пример 2: если x > 1, òî 8n > 1 справедливо неравенство

(1 + x)n 1 + nx;

причем знак равенства имеет место лишь при x = 0. 4Т. e. не алгебраическое. Корни уравнений

anxn + an 1xn 1 + : : : + a0 = 0; n 1;

с целыми коэффициентами называют а л г е б р а и ч е с к и м и числами.

3

Пример 11.2. Исходя из второго замечательного предела, доказать, что

При k фиксированном, n ! 1, в правой части неравенства конечное число слагае-

мых, каждое из которых является произведением конечного числа множителей, имеющих предел, в левой части последовательность, имеющая пределом число e. Согласно тео-

реме 9.4.2 о предельном переходе в неравенстве имеем соотношение

верное для любого числа k. Обратим внимание, что в множестве fykg нет наибольшего элемента, следовательно, при k = n выполняется строгое неравенство

при фиксированном n и m ! 1, получаем

1

0 < e yn < n n!;

4

e yn

Обозначив n = 1 , 0 < n < 1, убедимся в справедливости формулы 11.2.

n n!

5