Лекция 10. Арифметические свойства пределов, свойства бесконечно малых последовательностей

10.1.Арифметические операции над числовыми последовательностями

Числовые последовательности можно складывать, вычитать, перемножать и делить. Все арифметические операции определяются поэлементно.

С у м м о й числовых последовательностей fang è fbng называется числовая последовательность fcng такая, что cn = an + bn.

Р а з н о с т ь ю числовых последовательностей fang è fbng называется числовая последовательность fcng такая, что cn = an bn.

П р о и з в е д е н и е м числовых последовательностей fang è fbng называется числовая последовательность fcng такая, что cn = an bn.

Ч а с т н ы м числовой последовательности fang и числовой последовательности fbng,

все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность fcng такая, что cn = an :

bn

10.2.Арифметические свойства пределов

Теорема 10.1. Пусть последовательности fang è fbng сходятся. Тогда

Здесь в каждом из случаев 1-4 содержатся два утверждения: во-первых, существование предела в левой части равенства, а во-вторых, равенство этого предела выражению из правой части.

Словами эту теорему обычно формулируют так: предел суммы равен сумме пределов; предел разности равен разности пределов; предел произведения равен произведению пределов; предел частного равен частному пределов. В последнем случае, разумеется, имеется в виду, что ни члены последовательности делителей, ни е¼ предел не равны нулю.

Доказательство Пусть a = lim an è b = lim bn.

n!1 n!1

1, 2. По " > 0 выбираем N так, чтобы при всех n > N выполнялись неравенства

1

Тогда для этих n

В силу сходимости последовательности fbng она ограничена, поэтому можно выбрать число C такое, что jbnj C и jaj C при всех n. Тогда из (10.1) вытекает, что

Уверждение 3 доказано. Из этого утверждения нетрудно вывести

Следствие. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела:

lim c an = c lim an:

n!1 n!1

4. Начн¼м также со вспомогательного неравенства:

По условию b 6= 0, значит, согласно теореме 9.5.2 существует число N1 такое, что jbnj > jbj=2 äëÿ âñåõ n > N1. Последовательность fang в силу е¼ сходимости ограничена, пусть janj C ïðè âñåõ n.

Поэтому при n > N1 согласно (10.3) справедлива оценка

Тогда из (10.4) следует, что для всех n > N

Теорема доказана.

2

Замечание 10.1. Теорема 10.1 не справедлива для расходящихся последовательностей и в частности для бесконечно больших. Это подтверждается следующими примерами.

Пример 10.1. Нетрудно убедиться, что последовательности

следовательно предел суммы an è bn равен 1, в то время каки не существуют пределы слагаемых.

Пример 10.2. Предел суммы последовательностей f( 1)nng è f( 1)n+1ng равен нулю, в то время как слагаемые являются бесконечно большими.

Пример 10.3. Предел разности последовательностей fng и fn + sin 2ng не существует, в то время как слагаемые сходятся к +1.

10.3.Свойства бесконечно малых последовательностей

Напомним, что последовательность f ng б е с к о н е ч н о м а л а я, если она сходится к нулю:

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N j nj < ":

1. Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности. Для того чтобы fang сходилась к a, необходимо и достаточно, чтобы fan ag была бесконечно малой:

Доказательство. Необходимость. Так как fang сходится к a, то

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N jan aj < ";

ò.å. fan ag бесконечно малая.

Достаточность очевидна в силу идентичности записи в кванторах утверждений: fan ag бесконечно малая и fang сходится к a.

Следствие. Для того чтобы fang сходилась к a, необходимо и достаточно, чтобы для всех n

an = a + n;

ãäå n бесконечно малая последовательность.

2. Алгебраическая сумма1 двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Åñëè f ng è f ng бесконечно малые последовательности, то бесконечно малыми являются и последовательности f n + ng è f n ng.

Доказательство. Это следует из свойств пределов сходящихся последовательностей.

Следствие. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

1Алгебраической суммой называется такая сумма, члены которой присоединяются друг к другу не только при помощи знака плюс, но и при помощи знака минус.

3

Замечание 10.1. Алгебраическая сумма бесконечного числа бесконечно малых может не быть бесконечно малой. Например,

01

nслагаемых

3.Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая.

Если последовательность f ng бесконечно малая, а последовательность fbng ограничен-

ная, то последовательность f n bng бесконечно малая.

Доказательство. Действительно, по условию существует такое число C, что jbnj C при всех n. Поэтому j nbnj Cj nj.

Взяв " > 0 и выбрав N так, чтобы при всех n > N выполнялось

"

j nj < C ;

получим требуемое неравенство

"

j nbnj Cj nj < C C = ";

что и требовалось доказать.

Заметим, что это утверждение нельзя вывести из свойств пределов сходящихся последовательностей, так как сходимость последовательности fbng не предполагается. А вот следующее свойство о произведении бесконечно малых непосредственно следует и из свойств пределов сходящихся последовательностей и из только что доказанного свойства бесконечно малых.

Следствие. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

4. Обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая. Если f ng бесконечно малая последовательность и n 6= 0 ïðè âñåõ n, òî f1= ng бесконечно большая последовательность.

Доказательство. Для произвольного E > 0 положим " = 1=E. Теперь по " находим N такое, что j nj < " при всех n > N. Тогда для этих n имеем

j1= nj = 1=j nj > 1=" = E

и наше утверждение доказано.

Обратная к бесконечно большой есть бесконечно малая. Если fang бесконечно большая последовательность, прич¼м an 6= 0 ïðè âñåõ n, òî f1=ang бесконечно малая последовательность.

Д/З Доказательство аналогично. Провести самостоятельно.

4