Лекция 32. Локальная формула Тейлора

32.1.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 32.1.1 (Локальная формула Тейлора) . Если функция y = f(x) определена и n

раз дифференцируема в точке x0, òî ïðè x ! x0 имеет место формула Тейлора

и все е¼ производные до порядка n обращаются в нуль:

rn(x0) = rn0 (x0) = rn00(x0) = : : : = rn(n)(x0) = 0:

Докажем, что

т. е. согласно определению 20.3 при x ! x0 функция rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая функция (x x0)n, что и требовалось доказать.

Теорема 32.1.2 (Единственность представления функции формулой Тейлора с остаточ- ным членом в форме Пеано). Если для некоторой функции справедливо представление

то коэффициенты ak в нем определяются единственным образом.

1См. теорему 28.1.1.

1

Доказательство. Действительно, если наряду с (32.2) имеем разложение

Так как согласно определению степенной функции (x a)0 1, то при переходе в (32.3) к пределу при x ! a, получим a0 = b0. Поэтому в (32.3) можно опустить слагаемое, соответствующее k = 0:

Если n 1, то разделив левую и правую части равенства в (32.4) на x a, находим

В последнем равенстве вновь переходим к пределу при x ! a и получаем a1 = b1. Продолжив этот процесс, видим, что ak = bk при всех k n. Таким образом, если

для функции справедливо представление (32.2), то коэффициенты ak в этом разложении определяются однозначно. Теорема доказана.

32.2.Стандартные разложения.

Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найд¼м для них много- члены Тейлора при x0 = 0.

1. Рассмотрим функцию f(x) = ex. Все е¼ производные совпадают с ней: f(k)(x) = ex, так что коэффициенты Тейлора в точке x0 = 0 равны

2

Все производные с ч¼тными номерами оказываются равными 0; производные с неч¼тными номерами равны 1 или 1:

Заметим, что мы можем записать остаточный член o(x2m) вместо o(x2m 1) (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка 2m, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции f(x) = cos x производные также чередуются с циклом длины 4, как

и для синуса, так как (cos x)(k) = cos x + 2k ; k = 0; 1; 2; : : : ; n. Значения в точке x0 = 0 имеют то же чередование:

f(0) = cos 0 = 1; f0(0) = sin 0 = 0; f00(0) = cos 0 = 1; f000(0) = sin 0 = 0;

Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, со- держащее x2m+1 с нулевым коэффициентом.

4. Для функции f(x) = ln(1 + x) производная k-го порядка находится по формуле

Имеем f0(0) = f(0) = 0, f(k)(0) = ( 1)k 1(k 1)! для всех k 2 N, поэтому в окрестности точки x0 = 0 имеет место разложение

5. Для функции f(x) = (1 + x) при фиксированном 2 R производная k-го порядка находится по формуле

((1 + x) )(k) = ( 1) : : : ( k + 1)(1 + x) k; k 2 N:

3

Имеем f0(0) = f(0) = 1, f(k)(0) = ( 1) : : : ( k + 1) для всех k 2 N, поэтому в окрестности точки x0 = 0 имеет место разложение

называемую формулой бинома Ньютона.

На основе полученных разложений (32.6) (32.10) можно получать формулы Тейло-

ра многих других функций без явного использования (32.5). Поскольку представление функции формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (локальной формулой Тейлора) единственно (теорема 32.1.2), то разложение, полученное с использованием формул (32.6) (32.10), будет совпадать с формулой (32.5).

Пример 32.1. Получить представление гиперболических функций sh x и ch x в окрестности точки x0 = 0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Нетрудно получить искомое представление по формуле (32.5), а можно получить это

же представление, используя стандартное разложение (32.6), что мы и сделаем. Начн¼м с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты (32.6):

Сравните найденные разложения с разложениями для sin x и cos x.

32.3.Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для раскрытия неопределенности 00 путем выделения главной части бесконечно малых функций 2.

2Åñëè (x) è (x) бесконечно малые при x ! x0, причем = o( ) ïðè x ! x0, то говорят, что (x)главная часть бесконечно малой функции (x) + (x).

4

Пусть требуется найти предел при x ! x0 отношения f(x)=g(x), в котором функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми при x ! x0. Если для этих функций выполнены условия теоремы 32.1.1, òî ïðè x ! x0 можно построить представение вида

f(x) = an(x x0)n + o ((x x0)n) ; g(x) = bm(x x0)m + o ((x x0)m) ;

ãäå an; bm 2 R n f0g, m; n 2 N, ограничившись в них лишь первыми не равными нулю слагаемыми. Тогда

èв зависимости от соотношения между n и m возможны три случая

1.L = 0 ïðè n > m;

2.L = an=bm åñëè n = m;

3.L = 1 ïðè n < m.

Другие виды неопределенности могут быть сведены к неопределенности 0=0. Если x0 6= 0, то для удобства представления функций f(x) и g(x) целесообразно ввести но- вую переменную t = x x0. Это позволяет воспользоваться стандартными разложениями (32.6) (32.10). Случай x ! 1 заменой x = 1=t также сводится к случаю t ! 0.

Заметим, что этот способ раскрытия неопредел¼нностей типа 0=0 в некоторых случаях,

подобных разобранному в примере, менее трудо¼мок, чем применение правила Лопиталя. Д/З: Доказать, что формула Тейлора в окрестности x = 0 четной (нечетной) функ-

ции f содержит в себе члены только четной (нечетной) степени x: f(x) = a0 + a2x2 + : : : + a2mx2m + o x2m+1

f(x) = a1x + a3x3 + : : : + a2m 1x2m 1 + o x2m :

5