Лекция 29. Правило Лопиталя

29.1.Раскрытие неопределенности 0/0

когда lim g(x) = 0. Например, в лекции 20 был доказан первый замечательный предел

x!a

lim sin x = 1:

x!0 x

В таких случаях нельзя переходить к пределу отдельно в числителе и в знаменателе

дроби. Если lim f(x) 6= 0, то предел (29.1) бесконечен. Поэтому интересен случай, когда

x!a

limf(x)=0.

x!a

Настоящая лекция посвящена изучению правил раскрытия неопределенности 00 è ñâÿ- занных с ней неопределенностей 11, 00, 10 с помощью производных.

Теорема 29.1.1. Пусть f(x) и g(x) удовлетворяют условиям:

1.f(a) = g(a) = 0,

2.существуют производные f0(a) è g0(a),

3.g0(a) 6= 0.

Тогда предел (29.1) существует и справедливо равенство

Доказательство. Для x 6= a в силу дифференцируемости функций f и g в точке x = a имеем

Теорема доказана.

В этой теореме можно говорить об односторонних производных функций f и g и соот-

ветствующем одностороннем пределе в (29.2). В следующих далее теоремах 28.1.2 и 28.2.1 имеются в виду односторонние пределы.

Теорема 29.1.2. Пусть a число или бесконечность определенного знака; f(x) и g(x) удовлетворяют условиям:

1. lim f(x) = 0, lim g(x) = 0;

x!a x!a

1

2. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой односторонней окрестности

U0(a);

3. g0(x) 6= 0 8 x 2 U0(a);

4. существует конечный или бесконечный lim f0(x).

x!a g0(x)

Тогда существует предел (29.1) (конечный или бесконечный) и справедливо равенство

Доказательство. Будем сначала считать a конечным. Положим f(a) = 0, g(a) = 0, т. е. доопределим (или переопределим) функции f(x) и g(x) в точке a. Тогда эти функции становятся непрерывными в соответствующей окрестности точки a. Имеем

f(x) = f(x) f(a): g(x) g(x) g(a)

Дробь в правой части этого равенства при x, близких к a, удовлетворяет условиям теоремы Коши 27.5.1. Значит, при некотором 2 (a; x) (или 2 (x; a))

По условию предел дроби из правой части этого равенства при x ! a существует. Поэтому отсюда вытекает утверждение теоремы для конечных a.

Пусть теперь a бесконечный символ, для определ¼нности a = +1. Рассмотрим функции '(t) = f(1=t) и (t) = g(1=t). При достаточно малых положительных t функции '(t) и (t) дифференцируемы и

Так как '(t) ! 0; (t) ! 0 при t ! +0, то по уже доказанному имеем

lim '(t) = lim '0(t):

t!+0 (t) t!+0 0(t)

Для завершения доказательства теоремы осталось только заметить, что

2

29.2.Раскрытие неопределенности "частное бесконеч- ностей\

Теорема 29.2.1. Пусть a число или бесконечность определенного знака; f(x) и g(x) удовлетворяют условиям:

1. lim f(x) = 1, lim g(x) = 1;

x!a x!a

2. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой односторонней окрестности

U0(a);

3. g0(x) 6= 0 8 x 2 U0(a);

4. существует конечный или бесконечный lim f0(x).

x!a g0(x)

Тогда существует предел (29.1) è

Доказательство приведено в учебном издании: Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, авторы Ильин В.А., Позняк Э.Г. на стр. 272

согласно свойству бесконечно малых 1: произведение бесконечно малой величины на ограниченную есть бесконечно малая. Вместе с тем, дробь

29.3. Примеры

1См. лекцию 10 и 18.

2См. лекцию 18.

3

При x ! 0 имеем неопределенность 00. Сначала в произведении (в числителе) заменим бесконечно малые функции их эквивалентными: sh x x, ln(1 + x) x при x ! 0. В

разности (в знаменателе) эквивалентными функциями заменять нельзя! Затем применим

Правило Лопиталя не является универсальным средством для раскрытия неопределенности 0=0 или 1=1. В некоторых примерах его нельзя применять, в

некоторых оно не помогает избавиться от неопределенности или даже ухудшает ситуацию. Это демонстрируют следующие примеры.

Этот предел, конечно, легко вычисляется без правила Лопиталя:

4

Вычислим данный предел без правила Лопиталя.

e 1=x2

Пример 29.6. Найти предел lim x . После применения правила Лопиталя ситуация

лишь ухудшается:

x!0

Сделаем сначала замену переменных, потом применим правило Лопиталя:

5