Лекция 33. Формула Тейлора на отрезке

33.1.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Доказанная в предыдущей лекции теорема 32.1.1 утверждает, что при малых отклонениях от x0 значения P (x) будут отклоняться от f(x) на величину более высокого порядка малости, чем (x x0)n, что да¼т нам уверенность в том, что замена f(x) на многочлен Тейлора P (x) будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улуч-

шаться, если мы будем увеличивать значения n. Однако доказанная теорема не да¼т нам оценки остатка Rn(x). Этот пробел устраняет следующая теорема.

Теорема 33.1.1 (Формула Тейлора на отрезке). Пусть функция f непрерывна на отрезке [x0; x] вместе со своими производными до n-го порядка включительно и имеет производную порядка n+1 на интервале (x0; x). Тогда для любого x существует точка , лежащая между1 x0 è x (òî åñòü = x0 + (x x0) ïðè 2 (0; 1)), такая что справедлива формула Тейлора

называется о с т а т о ч н ы м ч л е н о м в ф о р м е Л а г р а н ж а 2.

Заметим, что формула Тейлора нулевого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа

есть формула конечных приращений: f(x) f(x0) = f0( )(x x0):

Пример 33.1. Написать формулы Тейлора в окрестности x = 0 с остаточным членом в форме Лагранжа для функций f = sin x, f = cos x, f = ln(1 + x).

1x можно считать не только большим, но и меньшим, чем x0. Åñëè x < x0, òî (x0; x), [x0; x] обозначают множества точек t, удовлетворяющих соответственно неравенствам x < t < x0, x t x0.

2Убедимся, что (33.2) является остаточным членом формулы Тейлора для функции f(x) с центром разложения в точке x0 в следующем семестре.

1

Для функции f(x) = ln(1 + x) производная n-го порядка выражается формулой

33.2.Оценка остаточного члена

Теорема 33.2.1 (Оценка остаточного члена). Пусть n+1-я производная функции f ограничена на интервале (x0; x), т. е. существует положительная константа M такая,

Д/З: Убедиться в справедливости теоремы.

Полученную оценку остатка удобно применять для оценки погрешности при замене функции е¼ многочленом Тейлора:

и при каждом фиксированном x мы можем узнать оценку погрешности приближ¼нной

то остаточный член в формуле Тейлора за счет увеличения порядка многочлена Тейлора может быть сделан меньше любого положительного .

Пример 33.2. Вычислить число e с точностью до 10 4.

Òàê êàê f(k)(x) = ex, òî f(k)(0) = 1 при всех k и формула Тейлора (33.1) на отрезке [0; x] для экспоненты имеет вид

При каждом имеем e ejxj. Поэтому для остаточного члена формулы (33.6) справедлива оценка

2

Таким образом, согласно (33.7) при любом n имеем

Так как 8! = 40320, то формула (33.7) при n = 7 да¼т значение e с точностью до 0; 0001.

Удобство этой формулы состоит ещ¼ в том, что при переходе для получения большей точности от одного n к следующему используются проделанные ранее вычисления.

Замечание 33.1. Приближ¼нная формула f(x) P (x) имеет место только при малых зна-

чениях отклонения x x0. Надежды на то, что при увеличении n интервал, на котором можно будет применять с заданной точностью эту приближ¼нную формулу, будет расширяться, вообще говоря, не оправдываются. Поясним сказанное на следующем примере.

Рассмотрим непрерывную функцию

(

e 1=x2 ; åñëè x 6= 0;

f(x) =

0; åñëè x = 0

Найдем производные этой функции в точке x = 0. Если x 6= 0, то

f0(x) = x23 e 1=x2 ;

а каждая следующая производная функции f(x) равна произведению e 1=x2 на некоторую линейную комбинацию дробей вида 1=xm, m 2 N.

Докажем для произвольного натурального числа m предельное равенство

Для m = 1 этот предел был вычислен в примере 28.6 лекции 28. Аналогично тому сделаем замену 1=x2 = t, тогда

Правило Лопиталя позволяет легко установить равенство

Действительно, при каждом дифференцировании знаменатель дроби из (33.9) остается без изменений, а показатель степени в числителе уменьшается на единицу. Поэтому после достаточного числа дифференцирований числитель станет ограниченным и мы получим предельное равенство (33.9).

С помощью (33.8) и следствия 28.4.4 из теоремы Лагранжа получаем равенства

f(k)(0) = 0 äëÿ âñåõ k 2 N:

Это означает, что при любом порядке n многочлена Тейлора все его коэффициенты ak равны 0, и формула Тейлора сводится к равенству f(x) = rn(x).

Таким образом, любой остаток в формуле Тейлора для этой функции в точке 0 равен одному и тому же, а именно, самой функции f(x). Поэтому уменьшить остаток за сч¼т увеличения n здесь никак не возможно: единственным приближением, которое формула Тейлора да¼т для функции f(x), здесь служит тождественный 0.

3