8111 лекции 1-36 / Лекция27.Вычисление производных и дифференциалов
.pdf
Лекция 27. Вычисление производных и дифференциалов (Часть 2)
27.1.Производная сложной функции
Теорема 27.1.1. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x0, f(x0) = y0 è функция z = g(y) имеет производную в точке y0. Тогда композиция функций
z(x) = g (f(x))
имеет производную в точке x0 и справедливо равенство |
|
z0(x0) = g0(y0)f0(x0): |
(27.1) |
Доказательство.
Для приращения функции g в силу ее дифференцируемости в точке y0 справедливо равенство
|
z(y0) = g0(y0) y + ( y) y; |
(27.2) |
|||||
ãäå ( y) ! 0 ïðè y ! 0, y0 = f(x0). |
|
|
|
|
|||
Поделим обе части равенства (27.2) íà x: |
|
|
|
||||
|
z(f(x0)) |
= g0(y0) |
y |
+ ( y) |
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
x |
x |
||||
и устремим x к нулю.
Так как y = f(x) дифференцируема в точке x0, значит, f непрерывна в точке x0, ò. å. бесконечно малому приращению аргумента x в точке x0 соответствует бесконечно малое
приращение функции y |
= |
f x |
0 |
+ x) |
|
f x |
0) |
: |
lim y = 0; тогда |
lim ( y) = 0; ïðè |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
( |
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
этом по определению производной функции f в точке x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
y |
|
= |
lim |
|
f(x0 + x) f(x0) |
= f0(x0): |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x!0 |
|
|
x!0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В результате имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z0(x |
) = lim |
|
z(f(x0)) |
g0 |
y |
|
lim |
|
y |
+ lim ( y) |
lim |
y |
= g0(y |
)f0(x |
); |
||||||||||||||
0 |
x |
|
|
|
= |
|
0 |
x |
x |
||||||||||||||||||||
0 |
x |
! |
|
|
|
|
( |
0) x |
! |
|
|
x |
! |
0 |
|
x 0 |
0 |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|||
что и требовалось доказать.
Понятно, что эта теорема справедлива и для односторонних производных. Представив производные как отношения дифференциалов, формулу 27.1 можно запи-
сать следующим образом:
dxdz = dgdf dxdf :
Пример 27.1. Производные гиперболических функций
(sh x)0 |
= |
ex e x |
|
0 |
= |
(ex)0 |
(e x)0 |
= |
ex + e x |
= ch x; |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
(ch x)0 |
= |
ex + e x |
|
0 |
= |
(ex)0 |
+ (e x)0 |
= |
ex e x |
= sh x: |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
= |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sh x |
ch x ch x |
sh x sh x |
1 |
|
|
||||||||||
(th x)0 |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
; |
|
||||||
ch x |
ch2 x |
ch2 x |
|
|||||||||||||
|
|
ch x |
|
0 |
|
sh x sh x |
ch x ch x |
1 |
|
|
||||||
(cth x)0 |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
: |
|||||
sh x |
|
|
sh2 x |
sh2 x |
||||||||||||
Ä/Ç: Найти производные обратных гиперболических функций:
p
arsh x = ln x + x2 + 1 ; x 2 R;
arth x = |
1 |
ln |
1 + x |
; |
jxj < 1: |
||
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
27.2. Производная параметрически заданной функции
Простейший пример параметрического1 задания функции да¼т параметрическое уравнение прямой на плоскости
x = at + b; y = ct + d; |
(27.3) |
где t 2 (1; +1). Если a 6= 0, то t = (x b)=a и, подставив это значение t во второе |
||||
уравнение (27.3), получим |
|
c |
|
|
|
y = |
(x b) + d: |
||
|
|
|
||
|
a |
|||
Таким образом, исключив из (27.3) параметр t, мы нашли явное выражение y через x. Сложнее обстоит дело с параметрическим уравнением эллипса
x = a cos t; |
|
|
y = b sin t; |
(27.4) |
|||||||||
a; b > 0, t 2 [0; 2 ). Исключив из уравнений (27.4) параметр t, получим |
|
||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1: |
|
|||
a |
b |
|
|||||||||||
Отсюда |
|
b |
p |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
a |
2 |
2 |
: |
(27.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
y = a |
|
|
|
x |
|
||||||||
Поскольку для каждого x знак перед корнем можно брать произвольно, то формула (27.5) зада¼т бесконечно много функций y аргумента x. Если потребовать непрерывность функций на [ a; a], то таких функций будет две.
В общем случае, когда на некотором промежутке изменения параметра t заданы функции
x = x(t); y = y(t); |
(27.6) |
исключить из (27.6) параметр t и получить явное выражение y через x не всегда просто,
а иногда невозможно.
Покажем, что при некоторых естественных условиях на функции (27.6) можно найти параметрическое представление производной функции y = f(x), задаваемой параметри-
ческими уравнениями (27.6), через производные функций x(t) и y(t).
1О параметрическом задании функций см. лекцию 4.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
Теорема 27.2.1. Пусть функции x = x(t), y = y(t) определены в некоторой окрестности точки t0 и функция x(t) строго монотонна в этой окрестности. Тогда, если x(t) è y(t)
имеют в точке t производные |
dx |
(t |
) = x0(t |
), |
|
dy |
|
(t ) = y0 |
(t |
) è x0 |
(t |
) = 0, то функция |
||||||||
dt |
|
dt |
||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
t |
0 |
|
|
|
0 |
t |
0 |
t |
0 |
|
6 |
|
|
||||
y = y(t(x)) = f(x) в точке x0 |
= |
x(t0) также имеет производную |
|
df |
(x0) = f0 |
(x0), |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
|
которая находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx0 (x0) = |
|
(t0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(27.7) |
|||
|
|
|
xt0 |
(t0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Если в некоторой окрестности точки t0 функция x(t) строго монотонна, то как было показано в теореме 21:5:1, в некоторой окрестности точки x0 = x(t0) существует функция t = t(x), обратная x(t), и формулы (27.6) параметрически задают функцию y(t(x)) = f(x). Производную функции f(x) находим по правилу дифференциро-
вания суперпозиции функций: fx0 = yt0 tx0 |
; ãäå tx0 |
, согласно теореме 26:2:1 вычисляется по |
|||||||||
формуле tx0 = 1=xt0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||
|
|
fx = yt |
tx |
= |
|
|
; |
|
|||
|
|
xt0 |
|
||||||||
следовательно, в точке x0 = x(t0) справедлива формула (27.7). Теорема доказана. |
|
||||||||||
Мы получили fx0 |
как функцию от t, таким образом, производная функции y = f(x), |
||||||||||
задаваемой параметрическими уравнениями (27.6), также задается параметрически: |
|
||||||||||
|
|
|
fx0 |
|
|
y0 |
|
||||
|
|
x = x(t); |
= |
|
|
t |
= (t): |
(27.8) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
xt0 |
|
||||
27.3.Правила вычисления дифференциалов, связанные
с арифметическими действиями над функциями
Теорема 27.3.1. Пусть функции u è v дифференцируемы в некоторой точке x. Тогда существуют в этой точке следующие дифференциалы и для них справедливы равенства
1.d u v = du dv;
2.d u v = udv + vdu;
3.åñëè v(x) 6= 0, òî d u = vdu udv : v v2
Доказательство. Равенства эти доказываются однотипно. Например, второе получа- ем с помощью определения дифференциала dy = y0(x)dx и теоремы 26.1.1:
d(uv) = (uv)0dx = u0vdx + uv0dx = vdu + udv:
Д/З: Остальные равенства доказать самостоятельно.
27.4.Дифференциал сложной функции. Инвариантность
формы первого дифференциала
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Ее дифференциал
dy = f0(x)dx |
(27.9) |
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
называют также п е р в ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м.
Найдем дифференциалы от сложной функции y = f(x(t)), где t независимая переменная, а x зависимая переменная или промежуточный аргумент.
Согласно формуле (27.9) и правилу 27.1 дифференцирования сложной функции первый
дифференциал имеет вид
dy = f0(t)dt = f0(x)x0(t)dt:
С другой стороны, x0(t)dt = dx, значит, для первого дифференциала dy сложной функ-
ции справедливы формулы |
|
dy = f0(t)dt |
(27.10) |
è |
|
dy = f0(x)dx: |
(27.11) |
Эти формулы выглядят одинаково, но их принципиальная разница состоит в том, что dt
â (27.10) является дифференциалом независимой переменной (равным приращению независимой переменной), а в формуле (27.11) величина dx является дифференциалом зави-
симой переменной (промежуточного аргумента x, зависящего от t).
Свойство первого дифференциала, заключающееся в неизменности выражения его че- рез дифференциалы независимой и зависимой переменной называют и н в а р и а н т н о - с т ь ю ф о р м ы п е р в о г о д и ф ф е р е н ц и а л а.