Лекция 22. Непрерывность композиции функций

22.1.Непрерывность композиции функций

Пусть на множестве X задана функция f и Y множество значений f(x), когда x 2 X. Если на Y определена функция g, то говорят, что на множестве X определена суперпози-

ция функций

g f = g (f(x)) :

Теорема 22.1.1. Пусть f(x) непрерывна в точке a, f(a) = b; g(y) непрерывна в точке b, g(b) = c; тогда суперпозиция функций g(f(x)) непрерывна в точке a.

Доказательство. Так как f(x) непрерывна в точке a, f(a) = b, то a предельная точка области X и для любой сходящейся к a последовательности точек fxng из области

X справедливо равенство lim f(xn) = b.

n!1

Так как g(y) непрерывна в точке b, g(b) = c, то b предельная точка области Y и для любой сходящейся к b последовательности точек fyng из области Y , в том числе и для

yn = f(xn), справедливо равенство lim g(yn) = c.

n!1

Таким образом, a предельная точка области X и для любой сходящейся к a последовательности точек fxng из X справедливо равенство

lim g (f(xn)) = c = g (f(a)) ;

n!1

т. е. выполняется определение непрерывности функции в точке на языке последовательностей. Теорема доказана.

Следствие 22.1.2. При вычислении пределов, можно переходить от переменной x к новой переменной y = f(x):

Следствие 22.1.3. Знак предела (lim) и знак функции (g), если она непрерывна, можно

x = g(f(x)) = e ln x:

1

и согласно теореме "о двух милиционерах\

lim (1 + xk)1=xk = e:

k!1

Это равенство выполняется для произвольной последовательности fxkg, состоящей из положительных членов, сходящихся к нулю, следовательно, по определению Гейне верно 22.3.

1. Теперь докажем, что

При x 2 ( 1; 0) эта дробь положительна, поэтому в силу уже доказанного для x > 0 равенства 22.2 получаем его и при x < 0.

Следствие 22.2.1. Ïðè x ! 0 справедливы следующие соотношения эквивалентности:

Точку разрыва классифицируют по второму условию в определении 22.1.

Если a является точкой разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы f(a+) и f(a ), то a называют т о ч к о й р а з р ы в а I р о д а (ðèñ. 1 à, á).

Если a точка разрыва функции I рода и f(a+) = f(a ), то либо f не определена в точке a, либо f определена в этой точке, но f(a) 6= f(a+). Положив f(a) = f(a+), т. е. доопределив или переопределив f в точке a, получим непрерывную функцию. Такие точки

разрыва называют у с т р а н и м ы м и (ðèñ. 1 á).

Точку разрыва I рода называют точкой н е у с т р а н и м о г о разрыва, если

f(a+) 6= f(a ):

В этом случае нельзя получить непрерывную функцию, доопределив или переопределив f в точке a (ðèñ. 1 à).

Если точка разрыва функции не является точкой разрыва I рода, то ее называют т о ч к о й р а з р ы в а II р о д а (ðèñ. 1 â).

Если хотя бы один из односторонних пределов в точке разрыва не существует даже в обобщенном смысле (т. е. не равен бесконечности с определенным знаком), то такую точку называют точкой с у щ е с т в е н н о г о р а з р ы в а.

Если точка разрыва II рода не является точкой существенного разрыва, то ее называют точкой б е с к о н е ч н о г о р а з р ы в а (ðèñ. 1 â).