Лекция 20. Односторонние пределы; сравнение бесконечно малых и бесконечно больших

20.1.Понятие одностороннего предела

Определение 20.1. Число A называют пределом функции f в т о ч к е a с п р а в а, если

1.a предельная точка области определения функции f;

2.для каждого " > 0 существует такое число = (") > 0, что при всех x, удовлетворяющих условию a < x < a + , справедливо неравенство jf(x) Aj < ", короче,

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x a < x < a + ) jf(x) Aj < ":

В этом случае пишут

A = lim f(x) = f(a + 0) = f(a+):

x!a+0

Аналогично формулируется определение предела функции в точке слева.

Определение 20.2. Число A называют пределом функции f в т о ч к е a с л е в а, если

1.a предельная точка области определения функции f;

2.для каждого " > 0 существует такое число = (") > 0, что при всех x, удовлетворяющих условию a < x < a, справедливо неравенство jf(x) Aj < ", короче,

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x a < x < a ) jf(x) Aj < ":

В этом случае пишут

Правый и левый пределы в точке 0 обозначают

Это определения односторонних пределов по Коши.

Ä/Ç:

Сформулировать определения бесконечных односторонних пределов в точке.

Дать определения односторонних пределов по Гейне и доказать их эквивалентность определениям по Коши. этих определений.

Сформулировать и доказать критерий Коши существования одностороннего предела функции в точке.

1

Заметим, что существование предела lim f(x) равносильно существованию односторон-

Отсюда следует очевидный критерий существования предела функции в точке.

Теорема 20.1.1. Функция имеет в точке предел (в том числе может быть +1 или1) тогда и только тогда, когда в этой точке существуют односторонние пределы (может быть бесконечные), равные друг другу.

20.2.Односторонние пределы монотонной функции

Теорема 20.2.1. Если функция монотонна1 на интервале (a; b), то в любой его точке она имеет односторонние пределы.

Доказательство. Пусть f возрастает на (a; b). Зафиксируем произвольную точку c из (a; b) и рассмотрим функцию f на промежутке (c; x), c < x < b.

В силу возрастания f справедливо f(x) f(c), следовательно, множество значений f

Из определения точной нижней грани следует, что для любого " > 0 найд¼тся точка x" > c, в которой f(x") < + ": Но тогда в силу возрастания f при всех c < x < x" имеем

" < f(x) f(x") < + ":

Òî åñòü,

1Монотонные функции были определены в лекции 5.

lim f(x) = sup f(x):

x!c 0 x<c

Тогда для возрастающей функции очевидными представляются неравенства

f(c + 0) = inf f(x) f(c) sup f(x) = f(c 0):

Таким образом, для возрастающих функций теорема доказана. Для убывающих функций рассуждения аналогичны.

Замечание 20.1. Заметим, что пределы функций при x ! +1 и x ! 1 можно рассматривать, как односторонние пределы при x ! 1.

20.3.Первый замечательный предел

lim sin x = 1:

x!0 x

Доказательство. Рассмотрим односторонние пределы

èдокажем, что они равны 1.

1.Пусть x 2 (0; 2 ). В лекции 7 были доказаны неравенства:

sin x x tg x:

Òàê êàê ïðè x 2 (0; 2 ) : sin x > 0, x > 0, tg x > 0, òî

20.4.Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Определение 20.3. Функция f(x) называется б е с к о н е ч н о м а л о й при x стремящемся к a (конечному или бесконечному), если

lim f(x) = 0:

x!a

Пусть (x) и (x) бесконечно малые функции при x ! a и

lim (x) = A:

x!a (x)

Если A 6= 0, jAj < +1, то говорят, что (x), (x) бесконечно малые функции

Если A = 1, то (x) и (x) будут э к в и в а л е н т н ы м и бесконечно малыми функциями при x ! a, это обозначают (x) (x) при x ! a.

Пример 20.2. Сравнить (x) и (x) бесконечно малые при x ! 0, если

1. (x) = x2, (x) = x;

3Символ O читается "О-большое со звездой\. 4Символ o читается "о-малое\.

Определение 20.4. Функция f(x) называется б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й при x стремящемся к a (конечному или бесконечному), если

lim f(x) = 1:

x!a

Пусть f(x) и g(x) бесконечно большие функции при x ! a и

lim f(x) = A:

x!a g(x)

Если A 6= 0, jAj < +1, то говорят, что f(x), g(x) бесконечно большие функции

по сравнению с g(x) при x ! a.

Если A = 1, то f(x) и g(x) будут э к в и в а л е н т н ы м и бесконечно большими функциями при x ! a, это обозначают f(x) g(x) при x ! a.

Пример 20.3. Сравнить f(x) = 1=x и g(x) = 1=x2 бесконечно большие при x ! 0.

lim f(x)g(x);

x!a

то существует также предел

lim (x)g(x);

x!a

и значения этих пределов равны. Другими словами, при вычислении пределов произведения функций и частного функций можно заменять функции э к в и в а л е н т н ы м и.

Доказательство. При (x) 6= 0 верно равенство

f(x)g(x) = f((xx)) (x)g(x):

Так как существуют пределы

x!a

Теорема доказана.