8111 лекции 1-36 / Лекция23.Свойства_функций,непрерывных_на_отрезке
.pdfЛекция 23. Свойства функций, непрерывных на отрезке
23.1.Теоремы Вейерштрасса
Определение 23.1. Функцию называют она непрерывна в каждой точке интервала непрерывна слева в точке b.
н е п р е р ы в н о й н а о т р е з к е [a; b], если (a; b), а также непрерывна справа в точке a и
Теорема 23.1.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Ограниченность функции f на отрезке [a; b] означает существование такого числа C, что jf(x)j C при всех x 2 [a; b].
Докажем теорему от противного. Предположим, что функция f непрерывна на [a; b], но не является ограниченной на [a; b]. Тогда для каждого n 2 N существует такая точка
xn 2 [a; b], ÷òî jf(xn)j > n. Таким образом, lim f(xn) = 1.
n!1
Последовательность точек xn ограничена, так как все они принадлежат отрезку [a; b]. Значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследователь-
ность xnk . Пусть = lim xnk , тогда
k!1
В силу непрерывности функции f в точке (если один из концов отрезка, имеется в виду односторонняя непрерывность) для любой сходящейся к последовательности точек
tk из [a; b] имеем lim f(tk) = f( ). |
|
|
k!1 |
nlim f(xn) = 1 следует равенство |
klim f (xnk ) = 1) |
Значит, klim f (xnk ) = f( ). Íî èç |
||
!1 |
!1 |
!1 |
и мы пришли к противоречию. |
|
|
Теорема доказана. |
|
|
Отметим, что для функций, непрерывных на интервале, утверждение, подобное теореме 23.1.1, не верно. Это видно на примере функции 1=x, которая на интервале (0; 1)
непрерывна, но неограничена.
Определение 23.2. Говорят, что функция f(x) достигает на отрезке [a; b] своей точной верхней грани и точной нижней грани, если существуют x0; x00 2 [a; b] такие, что
f(x0) = sup f(x); f(x00) = inf f(x):
[a;b] |
[a;b] |
|
Теорема 23.1.2. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своей точной верхней и точной нижней граней.
Доказательство. Докажем достижимость точной верхней грани. Заметим, что точная верхняя грань значений функции существует, так как согласно теореме 23.1.1 из непрерывности функции на отрезке следует е¼ ограниченность.
Пусть M = sup f(x). Для каждого натурального n существует точка xn 2 [a; b] такая,
[a;b]
÷òî f(xn) > M 1=n. Òàê êàê f(xn) M при всех n, то по теореме "о двух милиционерах\
lim f(xn) = M |
(23.1) |
n!1 |
|
Последовательность xn согласно теореме Больцано-Вейерштрасса имеет сходящуюся
подпоследовательность xnk . Пусть = lim xnk , тогда 2 [a; b].
k!1
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
Так как f непрерывна в точке , то lim f (xnk ) = f( ); è èç (23.1) следует, что
k!1
lim f (xnk ) = M:
k!1
Значит, M = f( ).
Для точной нижней грани рассуждения аналогичны. Теорема доказана.
Таким образом, можно говорить о максимальном значении функции, непрерывной на отрезке, и писать в этом случае не sup f(x), а max f(x).
[a;b] [a;b]
Замечание 23.1. Для функций, непрерывных на интервале, утверждение, подобное теореме 23.1.2, не имеет места, даже если дополнительно предполагать ограниченность функции. Например, f(x) = x, x 2 (a; b), непрерывная на (a; b), ограниченная, но не достигает
своих точных граней.
Замечание 23.2. Теорема 23.1.2 не является конструктивной, так как только констатирует существование точки на отрезке, в которой функция достигает своей точной верхней (нижней) грани, но не дает алгоритма поиска этой точки.
23.2.Теоремы Больцано-Коши
Теорема 23.2.1. Если f(x) непрерывна на [a; b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, тогда существует точка 2 [a; b], в которой f( ) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0, f(b) > 0. Разделим отрезок [a; b] пополам. Если в точке деления значение функции равно нулю, то в качестве можно
взять эту точку деления.
Если в точке деления значение функции f отлично от нуля, то в концах одного из получившихся отрезков значения f имеют разные знаки: в левом конце значение f меньше нуля, в правом больше нуля. Обозначим этот отрезок [a1; b1]. Заметим, что
b1 a1 = (b a)=2:
Делим теперь отрезок [a1; b1] пополам и повторяем предыдущее рассуждение. Если в точке деления функция обращается в нуль, то нужная точка уже найдена. В противном случае выбираем тот из полученных отрезков, обозначив его [a2; b2], в концах которого f(a2) < 0, f(b2) > 0. Длина [a2; b2] в два раза меньше длины отрезка [a1; b1].
Продолжим этот процесс. Если мы не встретим нуль функции на каком-то шаге, то получим последовательность вложенных отрезков [an; bn], длины которых
bn an = (b a)=2n
стремятся к нулю. Значит, согласно принципу вложенных отрезков существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам, при этом
lim an = ; |
lim bn = ; f(an) < 0; f(bn) > 0: |
n!1 |
n!1 |
В силу непрерывности f |
(x) и сохранения в пределе лишь нестрогого неравенства имеем |
|
0 |
nlim f(an) = f( ) = nlim f(bn) 0: |
|
|
!1 |
!1 |
Отсюда следует, что f( ) = 0. Теорема доказана.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
(Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции). Если непрерывная на [a; b] функция f(x) принимает значения f(a) = A и f(b) = B, A 6= B, то
она принимает любое значение между ними, т. е.
8 C 2 [A; B] 9 2 [a; b] : f( ) = C:
Доказательство. Пусть для определенности A < B. Введ¼м функцию g(x) = f(x) C. Функция g непрерывна на отрезке [a; b] и
g(a) = f(a) C = A C < 0; g(b) = f(b) C = B C > 0:
Значит, по уже доказанной теореме 23.2.1 существует точка 2 [a; b], в которой g( ) = 0. Таким образом, f( ) C = 0 и f( ) = C.
Теорема доказана.
Следствие 23.2.3. Множество значений функции f, непрерывной на отрезке, есть отрезок.
Доказательство. Во-первых, множество значений функции, непрерывной на отрезке, ограничено по теореме 23.1.1.
Во-вторых, согласно теореме 23.1.2 точки минимума и максимума функции f на отрезке входят в множество значений f(x).
В-третьих, согласно теореме 23.2.2 все числа между максимумом и минимумом f(x) также входят в множество значений функции f.
Следствие доказано.
23.3.Равномерная непрерывность функции на некотором множестве
Если функция f непрерывна на промежутке X, то для каждой точки x0 2 X и произвольного положительного " существует такое положительное число , что при всех x из области определения функции f таких, что jx x0j < , имеем jf(x) f(x0)j < ":
При этом для каждой точки промежутка X при одном и том же " имеем, вообще говоря, сво¼ . Таким образом, зависит не только от ", но и от x0. Если же можно выбрать зависящим только от ", говорят о равномерной непрерывности функции на промежутке X.
Определение 23.3. Функцию f, заданную на промежутке X, называют р а в н о м е р н о н е п р е р ы в н о й на этом промежутке, если для каждого " > 0 существует (") > 0 такое, что для любых точек x0 è x00 из X, удовлетворяющих условию jx0 x00j < , справедливо неравенство jf(x0) f(x00)j < ".
Промежуток, о котором говорится в этом определении, может быть отрезком, интервалом или полуотрезком, в том числе и неограниченным.
Очевидно, что функция, равномерно непрерывная на промежутке, является непрерывной на этом промежутке. Обратное утверждение не справедливо.
Пример 23.1. Функция
f(x) = sin x1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
непрерывна на интервале (0; 1). Докажем, что f(x) не является равномерно непрерывной на этом интервале, т. е.
9 " > 0 8 > 0 9x0; x00 2 (0; 1) jx0 x00j < ) jf(x0) f(x00)j ":
Заметим, что 1=x 2 (1; +1) при x 2 (0; 1), поэтому sin x1 |
принимает любые значения |
||||||||
из отрезка [ 1; 1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем " = 1=2. Для произвольного положительного выберем xn0 ; xn00 2 (0; 1): |
|||||||||
x0 = |
1 |
|
; x00 = |
1 |
|
; f (x0 |
) = 0; f (x00) = 1; |
||
n |
+ 2 n |
||||||||
n |
n |
n |
|
n |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
для которых неравенство
jxn0 |
xn00j = |
1=2 + n |
< |
|
n(1=2 + 2n) |
|
|||
имеет место начиная с некоторого номера N, в то время как jf(x0n) f(x00n)j = 1 > ", что и требовалось доказать.
Теорема 23.3.1. (Теорема Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Предположим противное: пусть функция f(x) на отрезке [a; b] непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Тогда 9 " > 0 такое, что 8 > 0 найдутся такие точки x0 è x00 èç [a; b], ÷òî jx0 x00j < , íî jf(x0) f(x00)j ".
Выбирая , равные 1=n, n 2 N, находим для каждого n пару точек x0n è x00n èç [a; b] такую, что jx0n x00nj < 1=n è jf(x0n) f(x00n)j ".
Рассмотрим последовательность fx0ng. Она ограничена, значит, содержит сходящуюся
подпоследовательность |
f |
x0 |
. Пусть = lim x0 |
|
|
|
|
2 |
[a; b]. Òàê êàê |
|
|
|
nk g |
|
k!1 nk , тогда |
|
|
|
|||||
|
|
jxn00k j jxn00k xn0 |
k j + jxn0 |
k j; |
|
||||||
òî è lim x00 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!1 nk |
|
|
|
|
|
xn0 |
|
= f ( ) è lim f xn00k |
|
||
Из непрерывности f в точке следует, что lim f |
k |
= f ( ), à |
|||||||||
это противоречит неравенству jf(xn0 |
k ) f(xn00k )j ". |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
k!1 |
|
|
Теорема доказана.
Отметим, что функции, непрерывные на интервале, подобным свойством не обладают.