Лекция 16. Частичные пределы

16.1.Частичный предел

Определение 16.1. Предел подпоследовательности называется ч а с т и ч н ы м п р е - д е л о м последовательности.

Здесь имеются в виду как конечные, так и бесконечные пределы.

Понятно, что если предел последовательности равен a, где a число или одна из бесконечностей +1, 1, то все ее частичные пределы равны1 a. Но если частичный предел последовательности равен a, то отсюда не следует, что предел этой последовательности равен a. Например, частичными пределами последовательности f( 1)ng, являются числа +1 и 1, а предела у этой последовательности нет.

Теорема 16.1.1. Число a является частичным пределом последовательности fang тогда и только тогда, когда любая " окрестность a содержит бесконечно много членов последовательности fang.

Доказательство. Необходимость. Если a частичный предел последовательности

fang, то это значит, что существует fank g подпоследовательность последовательности fang, сходящаяся к a. Следовательно, в любой " окрестности a содержатся все члены

последовательности fank g, начиная с некоторого номера, т. е. бесконечно много членов последовательности fang.

Достаточность. Пусть в каждой окрестности числа a находится бесконечно много членов. Способом, аналогичным доказательству теоремы Больцано Вейерштрасса, выделим подпоследовательность последовательности fang, сходящуюся к a.

Возьмем произвольное " > 0. Обязательно найдется член последовательности fang, обозначим его an1

a " < an1 < a + ":

Сузим " окрестность a вдвое. Выберем элемент последовательности fang, принадлежащий интервалу (a "=2; a + "=2), такой, что его индекс n2 больше, чем n1. Так будет

На k м шаге выберем элемент последовательности fang, принадлежащий интервалу

1 Вы должны были доказать, что если последовательность сходится к конечному или бесконечному пределу, то любая е¼ подпоследовательность сходится к тому же самому пределу. См. лекцию 12.

1

Теорема 16.2.2. У любой ограниченной последовательности есть нижний предел.

Д/З: Доказательство провести самостоятельно.

Теорема 16.2.3. У любой неограниченной сверху последовательности есть верхний предел, равный +1.

Доказательство. Если последовательность не ограничена сверху, то согласно теореме 12.2.2 (аналогу теоремы Больцано Вейерштрасса для неограниченных последователь-

ностей) из не¼ можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к +1, и верхним пределом последовательности будет +1, что и требовалось доказать.

Оста¼тся ещ¼ случай, когда lim an = 1. Тогда 1 называют верхним пределом

n!1

последовательности fang.

Теорема 16.2.4. У любой неограниченной снизу последовательности есть нижний предел, равный 1.

Доказательство. Если последовательность не ограничена снизу, то согласно аналогу теоремы Больцано Вейерштрасса для неограниченных последовательностей из не¼ можно

выделить подпоследовательность, сходящуюся к 1, и нижним пределом последовательности будет 1. Теорема доказана.

В случае, когда lim an = +1, несобственное число +1 называют нижним пределом

n!1

последовательности fang.

Таким образом, верхний и нижний пределы определены для любой последовательности.

Можно уточнить, что верхний (нижний) предел последовательности fang это точная верхняя (нижняя) грань множества A всех частичных пределов последовательности fang (наряду с действительными числами A может содержать несобственные числа +1 и 1).

16.3.Связь верхнего и нижнего предела со сходимостью последовательности

Теорема 16.3.1. Ограниченная последовательность fang сходится тогда и только тогда, когда равны ее верхний и нижний пределы.

Доказательство. Необходимость. Пусть fang сходится к числу a, тогда все ее подпоследовательности сходятся3 к a. Множество A частичных пределов последовательности fang состоит из одного элемента A = fag. sup A = inf A = a, следовательно,

lim an = lim an = a:

n!1 n!1

Достаточность. Пусть fang ограниченная и

lim an = lim an = a:

n!1 n!1

Òàê êàê a = lim an, то на луче [a + "; +1) находится конечное число членов последо-

n!1

вательности fang:

9 N1 2 N : 8 n > N1 an < a + ":

3Это было домашним заданием к лекции 12.