8111 лекции 1-36 / Лекция17.Открытые_и_замкнутые_множества_на_прямой
.pdf
Лекция 17. Открытые и замкнутые множества на прямой
17.1.Классификация точек множества на числовой прямой
Пусть задано непустое числовое множество X.
Определение 17.1. Точка a в н у т р е н н я я точка множества X, если существует "-окрестность точки a целиком содержащаяся в X.
Определение 17.2. Точка a г р а н и ч н а я точка множества X, если в любой "-окрест- ности точки a содержатся точки как принадлежащие X, так и не принадлежащие X.
Определение 17.3. Точка a множества X и з о л и р о в а н н а я точка множества X, если существует "-окрестность точки a, в которой нет ни одной точки из X, кроме самой точки a.
Определение 17.4. Точка a является точкой п р и к о с н о в е н и я множества X, если в любой "-окрестности точки a есть хотя бы одна точка из X.
Определение 17.5. Точка a п р е д е л ь н а я точка множества X, если в любой "- окрестности точки a содержится хотя бы одна точка из X, не совпадающая с a.
Заметим, что внутренние и изолированные точки множества обязательно принадлежат этому множеству. Граничные, предельные и точки прикосновения множества могут как принадлежать ему, так и не принадлежать.
Согласно данным определениям изолированная точка множества является для него точкой прикосновения и граничной точкой, но не является предельной. Внутренние точки множества всегда являются предельными точками этого множества.
17.2.Свойства предельной точки
Теорема 17.2.1. Точка a является предельной точкой множества X тогда и только тогда, когда в любой "-окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X.
Доказательство. Необходимость. Пусть a является предельной точкой множества X.
Согласно определению 17.5 в любой "-окрестности точки a обязательно найдется число x1 такое, что
x1 2 X; x1 6= a:
Обозначим "1 |
= |
ja x1j |
. Тогда |
|
2 |
|
|
x1 2= U"1 (a):
 "1-окрестности точки a обязательно найдется число x2:
|
|
|
x2 2 X; x2 6= a; x2 2= U"2 (a); |
ãäå "2 |
= |
ja x2j |
. |
|
2 |
|
|
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
На k-м шаге выберем число xk:
xk 2 X; xk 6= a; xk 2= U"k (a);
ja xkj
ãäå "k = 2 .
Продолжив этот процесс и далее (до бесконечности), получим счетное множество точек fxkg в любой окрестности точки a.
Достаточность очевидна. Если в любой окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X, то есть и одна, отличная от a. Теорема доказана.
Теорема 17.2.2. Точка a является предельной точкой множества X тогда и только тогда, когда существует последовательность точек из X, не совпадающих с a, которая сходится к a.
Доказательство. Необходимость. Если a предельная точка множества X, то согласно предыдущей теореме в любой окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X. Следовательно, из них, также как в доказательстве теоремы 15.1.1, можно выделить последовательность точек, сходящуюся к a.
Возьмем произвольное " > 0. Обязательно найдется число x1 2 X такое, что
a " < x1 |
< a + ": |
||||
Сузим "-окрестность a вдвое. Выберем число x2 2 X, x2 6= x1: |
|||||
" |
|
" |
|
||
a |
|
< x2 |
< a + |
|
: |
2 |
2 |
||||
Сузим "=2-окрестность a вдвое. Выберем число x3 2 X, x3 6= x2:
a |
|
" |
< x3 < a + |
" |
: |
22 |
22 |
||||
На k м шаге выберем число xk 2 X, xk 6= xk 1:
|
|
|
a |
" |
|
< xk < a + |
" |
: |
|
|
||||||
|
|
|
2k 1 |
2k 1 |
|
|||||||||||
Продолжим процесс и далее, т. е. устремим k ! 1. Так как |
||||||||||||||||
|
k!1 |
|
|
" |
|
|
|
|
" |
|
|
|
||||
|
|
2k 1 = k!1 |
2k 1 |
|||||||||||||
то согласно теореме |
lim |
|
a |
|
|
|
|
|
lim |
a |
|
|
|
|
|
= a; |
"о двух милиционерах |
\ è lim xk = a: |
|
||||||||||||||
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Достаточность. Если fxng последовательность точек из множества X, сходящаяся к a, xn 6= a, òî
8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N jxn aj < ":
Значит, в любой окрестности точки a содержится бесконечно много точек из X, следовательно, найдется и одна, не совпадающая с a.
Теорема доказана.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
17.3.Открытые и замкнутые множества
Определение 17.6. Множество называется о т к р ы т ы м, если все его точки внутренние.
Определение 17.7. Множество называется з а м к н у т ы м, если оно содержит все свои предельные точки.
Пример 17.1.
Интервал (a; b) открытое множество, так как все точки, принадлежащие интервалу, внутренние; не является замкнутым, так как граничные точки интервала a и b
являются его предельными точками, но не принадлежат интервалу (a; b).
Отрезок [a; b] не является открытым множеством, так как содержит граничные точки a; b; является замкнутым, так как содержит все свои предельные точки.
Полуинтервал [a; b) не является ни открытым, ни замкнутым.
Числовая прямая R открытое множество, так как не имеет граничных точек;
является замкнутым множеством, так как содержит все свои предельные точки (это следует из свойства полноты множества действительных чисел).
Напомним, что если множество A является подмножеством множества B (A B), то разность множеств B n A называют дополнением множества A до множества B.
Разность множеств R n A называют дополнением множества A и обозначают A.
Теорема 17.3.1. Для того чтобы множество A на числовой прямой было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение A было замкнутым.
Доказательство. Необходимость. Пусть A открытое множество.
Предположим, что A не является замкнутым, т. е. существует число x, являющееся предельной точкой множества A, но не принадлежащее множеству A:
x 2= A:
Тогда
x 2 A:
Поскольку A открытое множество, то x внутренняя точка множества A. Согласно
определению 17.1:
9 " > 0 : U"(x) A:
Следовательно, U"(x) не содержит ни одной точки из A, но тогда x не может быть предельной точкой множества A. Полученное противоречие доказывает, что множество A замкнутое.
Достаточность. Пусть A замкнутое множество.
Предположим, что A не является открытым, т. е. существует число x 2 A, не являющееся внутренней точкой множества A. Тогда x либо граничная точка множества A, либо изолированная точка A. В обоих этих случаях в любой "-окрестности числа x содержатся точки, не принадлежащие A, т. е. принадлежащие множеству A:
8 " > 0 9 y" 2 A : jx y"j < ":
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
Согласно определению 17.5 число x предельная точка множества A. Но x 2= A. Это противоречит тому, что A замкнутое множество. Следовательно, сделанное предположение неверно и A открытое множество.
Теорема доказана.
Теорема 17.3.2. Для того чтобы множество A на числовой прямой было замкнутым,
необходимо и достаточно, чтобы его дополнение A было открытым.
Доказательство. Поскольку A = A, то теорему можно сформулировать подобно предыдущей: для того чтобы множество A на числовой прямой было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение A было замкнутым. Теорема доказана.
Пример 17.2. Пустое множество ; является открытым и замкнутым, так как его дополнение:
; = R n ; = R;
êàê, êàê ìû óæå говорили, является замкнутым и открытым.
Теорема 17.3.3. Объединение конечного или счетного числа открытых множеств открытое множество.
Доказательство. Пусть Ai открытое множество. Рассмотрим их счетное или конеч-
ное объединение SAi. Возьмем произвольную точку x из этого объединения и докажем,
i
что она внутренняя точка данного объединения множеств.
S
Åñëè x 2 Ai, то существует, по крайней мере, одно множество Ai, содержащее эту
i
точку. Поскольку Ai открытое, x внутренняя точка множества Ai. Согласно опреде- лению 17.1:
9 " > 0 : U"(x) Ai;
открытое множество. |
|
S |
Ai и x внутренняя точка множества |
S |
|
S |
Ai |
следовательно, U"(x) |
i |
i |
Ai. Значит, |
i |
Теорема доказана.
Теорема 17.3.4. Пересечение конечного числа открытых множеств открытое множество.
Доказательство. Пусть Ai открытое множество, i = 1; m. Рассмотрим их пере-
m
сечение T Ai. Возьмем произвольную точку x из этого пересечения и докажем, что она
i=1
внутренняя точка данного множества.
m
Åñëè x 2 T Ai, то x принадлежит всем открытым множествам Ai, i = 1; m. Значит, x
i=1
внутренняя точка для каждого из них:
8 i 2 f1; 2; : : : ; mg 9 "i > 0 : U"i (x) Ai:
Обозначим " = minf"1; "2; : : : ; "mg, тогда U"(x) Ai для всех i = 1; m, следовательно,
m
\
U"(x) Ai
i=1
mm
èx внутренняя точка множества T Ai. Значит, T Ai открытое множество. Теорема
доказана. |
i=1 |
i=1 |
|
|
Д/З: Является ли счетное пересечение открытых множеств открытым? Если нет, привести пример, подтверждающий это.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
5 |
|
|
Теорема 17.3.5. Пересечение конечного или счетного числа замкнутых множеств |
|
замкнутое множество. |
|
Доказательство. Пусть Ai замкнутое множество. Рассмотрим их счетное или ко- нечное пересечение TAi. Возьмем произвольную предельную точку x этого пересечения
i
и докажем, что она принадлежит данному пересечению множеств.
T
Согласно критерию 17.2.2, если x предельная точка
i
T
тельность fyng точек из Ai, не совпадающих с x, которая сходится к x. Это означает,
i
что и для каждого Ai точка x будет предельной, поскольку
8 |
i |
9 f |
ng 2 |
A |
i : |
|
n 6 |
^ |
n!1 |
n |
= x |
|
|
y |
|
|
y |
= x |
|
lim y |
|
: |
Òàê êàê âñå Ai замкнутые, то x принадлежит каждому из них и, следовательно, их пересечению, что и требовалось доказать.
Теорема 17.3.6. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнутое множество.
Доказательство. Пусть |
Ai |
замкнутое множество, |
|
|
. Рассмотрим их конеч- |
||
|
m |
|
|
i = 1; m |
|||
докажем, что онаS |
|
|
|
|
|
|
|
ное объединение |
Ai. Возьмем произвольную предельную точку x этого объединения и |
||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
принадлежит данному объединению множеств. |
||||||
|
|
m |
|
|
m |
||
|
|
|
|
iS |
|||
Согласно критерию 17.2.2, если x предельная точка |
Ai, то существует последова- |
||||||
Поскольку множеств Ai |
|
|
|
=1 |
|
|
|
iS всего m штук, то хотя бы в одном из них, например, в Ak |
|||||||
тельность fyng точек из |
=1 Ai, не совпадающих с x, которая сходится к a при n ! 1. |
||||||
(1 k m) содержится бесконечно много точек последовательности fyng, сходящейся
к x, значит, x предельная для Ak. Òàê êàê Ak замкнутое, то x 2 Ak и, следовательно,
m
x 2 S Ai, что и требовалось доказать.
i=1
Д/З: Является ли счетное объединение замкнутых множеств замкнутым? Если нет, привести пример, подтверждающий это.