Лекция 3. Ограниченные и неограниченные множества действительных чисел

3.1.Ограниченные множества, точные грани множества

Пусть A некоторое непустое множество действительных чисел: A R.

Определение 3.1. Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м с в е р х у, если существует такое действительное число M, что каждый элемент a множества A удовлетворяет неравенству a M. При этом число M называется в е р х н е й г р а н ь ю множества A.

Коротко это определение можно записать так: A о г р а н и ч е н н о е с в е р х у, если

9 M 2 R : 8 a 2 A a M:

Очевидно, что если M > M, то число M также является верхней гранью множества A.

Определение 3.2. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества A называется т о ч н о й в е р х н е й г р а н ь ю этого множества и обозначается

sup A.

Другими словами: число является точной верхней гранью множества A, если

1.верхняя грань этого множества;

2.левее верхних граней нет, так как в любой сколь угодно малой "-окрестности1 обязательно найдется элемент множества A.

Вот как можно записать в символьной записи

Определение 3.3. = sup A, åñëè

1.8 a 2 A a ;

2.8 " > 0 9 a 2 A : a > ":

Заметим, что точная верхняя грань множества может как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, если возьмем в качестве числового множества отрезок A = [c; d], где c < d, то sup A = d и sup A 2 A. Если же рассмотрим полуинтервал A = [c; d),

òî sup A = d, íî sup A 2= A.

Если точная верхняя грань множества принадлежит этому множеству, то она является наибольшим элементом этого множества, его максимумом: sup A = max A. В случае, когда

точная верхняя грань множества не принадлежит этому множеству, наибольшего элемента в этом множестве нет.

Определение 3.4. Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м с н и з у, если существует такое действительное число m, что каждый элемент a множества A удовлетворяет неравенству a m. При этом число m называется н и ж н е й г р а н ь ю множества A.

1"-окрестностью точки на числовой прямой R называют интервал ( "; + "). См. лекцию 2: Бесконечные промежутки, окрестность точки в R

1

Короче, A о г р а н и ч е н н о е с н и з у, если 9 m 2 R : 8 a 2 A a m:

Очевидно, что если m < m, то число m также является нижней гранью множества A.

Определение 3.5. Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества A называется т о ч н о й н и ж н е й г р а н ь ю этого множества и обозначается inf A.

Другими словами: число является точной нижней гранью множества A, если

1.нижняя грань этого множества;

2.правее нижних граней нет, так как в любой сколь угодно малой "-окрестности обязательно найдется элемент множества A.

Запишем в кванторах

Определение 3.6. = inf A, åñëè

1.8 a 2 A a ;

2.8 " > 0 9 a 2 A : a < + ":

Заметим, что точная нижняя грань множества может как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, если возьмем в качестве числового множества отрезок A = [c; d], где c < d, то inf A = c и inf A 2 A. Если же рассмотрим полуинтервал A = (c; d],

òî inf A = c, íî inf A 2= A.

Если точная нижняя грань множества принадлежит этому множеству, то она является наименьшим элементом этого множества, его минимумом: inf A = min A. В случае, когда

точная нижняя грань множества не принадлежит этому множеству, наименьшего элемента в этом множестве нет.

Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м, если оно ограниченное сверху и снизу, т. е. 9 m; M 2 R : 8a 2 A m a M:

Если ввести обозначение C = maxfjmj; jMjg, то последнее определение можно сформулировать иначе.

Определение 3.8. Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м, если

9C > 0 : 8a 2 A jaj C:

3.2.Cвязь ограниченности с наличием точных граней

Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (точ- ной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства.

Докажем следующую теорему.

Теорема 3.1. Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество, имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань.

Доказательство. Пусть A непустое, ограниченное сверху множество, т. е. 9b 2 R : 8a 2 A a b. Обозначим B множество верхних граней множества A. Очевидно, что 8b 2 B b a, где a любой элемент множества A.

2

Множества A и B удовлетворяют требованиям аксиомы непрерывности 2, следовательно, 9 c 2 R такое, что для любых двух элементов a 2 A и b 2 B выполняется неравенство a c b: Число c согласно сказанному удовлетворяет двум условиям: во-первых, 8b 2 B b c, т. е. c нижняя грань множества B; во-вторых, 8a 2 A a c, т. е. c верхняя грань множества A, поэтому c 2 B, следовательно, c = min B. Согласно определению 3.2 число c является точной верхней гранью множества A.

Замечание 3.1. Доказанная теорема есть теорема существования. Она не является конструктивной в том смысле, что с ее помощью нельзя найти точные грани. Она лишь постулирует факт их существования.

Ä/Ç: Доказать существование точной нижней грани ограниченного снизу множества.

Следствие 3.2. Всякое непустое ограниченное множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани.

3.3.Неограниченные множества

Определения неограниченного множества пишем по правилу записи отрицания утверждений3, сформулированных в кванторах.

Определение 3.9. Множество A неограниченное сверху, если 8M 2 R 9a 2 A : a > M.

Определение 3.10. Множество A неограниченное снизу, если 8m 2 R 9a 2 A : a < m.

Определение 3.11. Множество A называется неограниченным, если оно неограниченное сверху или неограниченное снизу, т. е. 8m; M 2 R 9a 2 A : (a > M) _ (a < m).

Определение 3.12. Множество A называется неограниченным, если

8C > 0 9a 2 A : jaj > C:

Утверждение 3.1. Если множество A не ограничено сверху, то sup A = +1 в расширенном множестве действительных чисел4.

Действительно, из первой аксиомы бесконечности 5 вытекает, что несобственное число +1 является верхней гранью множества A, так как 8a 2 A a < +1; согласно опреде-

лению 3.9 неограниченного сверху множества A справедливо утверждение: 8 " > 0 9a 2 A : a > ", т. е. в любой "-окрестности несобственного числа 6 +1 найдется элемент из множества A. Следовательно, несобственное число +1 есть наименьшая верхняя грань.

2Каковы бы ни были непустые множества A R и B R, такие, что для любых двух элементов a 2 A и b 2 B выполняется неравенство a b, существует такое число c 2 R, что для всех a 2 A и b 2 B имеет место соотношение a c b. См. лекцию 1: аксиомы действительных чисел, лекцию 2: аксиома

непрерывности.

3Если некоторое утверждение записано с помощью кванторов, то для записи отрицания этого утверждения необходимо все кванторы и последнее высказывание заменить на противоположные. См. лекцию 1: используемые обозначения и символы.

4Расширенное множество действительных чисел это множество действительных чисел, дополненное несобственными числами +1 и 1, подчиняющимися определенным правилам (аксиомам). См. лекцию 2:

Расширенное множество действительных чисел.

58 a 2 R; 1 < a < +1. См. лекцию 2: Расширенное множество действительных чисел.

6"-окрестностью несобственного числа +1 называется полупрямая U"(+1) = fa : a 2 R; a > "g. См. лекцию 2: Бесконечные промежутки, окрестность точки в R.

3

Это означает согласно определению 3.2, что +1 является точной верхней гранью неограниченного сверху множества A, что и требовалось доказать.

Ä/Ç: Доказать самостоятельно, что в расширенном множестве действительных чисел неограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань, равную несобственному числу 1.

3.4.Принцип Архимеда

Теорема 3.1. Множество натуральных чисел не ограничено сверху во множестве действительных чисел.

Доказательство. Предположим противное: множество N ограничено сверху, т. е. в силу определения 3.1 найдется действительное число M такое, что 8n 2 N n M. Тогда согласно теореме 3.1 множество N имеет точную верхнюю грань. Пусть sup N = ,2 R. Из пункта 2 определения 3.3 следует, что 8 " > 0 9 n 2 N : n > ": Так как это выполнено для любого ", то в том числе и для " = 1, тогда 9 n 2 N : n > 1, следовательно, n+ 1 > . Так как n+ 1 2 N, то нашелся элемент множества N, больший . Это противоречит тому, что = sup N, значит, наше предположение об ограниченности сверху множества натуральных чисел неверно. Теорема доказана.

Следствие 3.2. Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу во множестве действительных чисел.

Следствие 3.3. Для любого положительного действительного числа x найдется такое натуральное число n, что будет выполнено двойное неравенство n 1 x < n:

Доказательство. Существование натурального числа n такого, что x < n следует из принципа Архимеда и определения 3.9 неограниченного сверху множества: 8 x > 0 9 n 2 N : n > x. Так как по определению7 натуральные числа это результат последовательного сложения единицы с самой собой, то среди натуральных чисел больших x, можно выбрать ближайшее к x, т. е. такое, чтобы выполнялось неравенство 0 < n x 1. Отсюда вытекает, что n 1 x, что и требовалось доказать.

В этом случае число n 1 называется целой частью8 числа x и обозначается [x]. Число x [x] называется дробной частью числа x и обозначается fxg9.

Точная нижняя грань множества A = fa : a = 1=n; n 2 Ng есть число

Доказательство. Во-первых, 8 a 2 A a > 0; так как 8 n 2 N a = 1=n > 0, т.е. ноль является нижней гранью множества A.

Во-вторых, 8 " > 0 9 a = 1=n 2 A : a < 0 + ", так как согласно принципу Архимеда и определению 3.9 неограниченного сверху множества 8 M > 0 9 n 2 N : n > M, в том числе и для M = 1=" 9 n 2 N : n > 1=", но тогда выполняется соотношение a = 1=n < ",

что и требовалось обосновать.

Выполнены оба пункта определения 3.6, следовательно, inf A = 0.

7См. лекцию 1: Числовые множества.

8Ц е л а я ч а с т ь ч и с л а есть ближайшее целое к этому числу, не превосходящее данного числа. Например, [0; 5] = 0; [1] = 1; [1; 3] = 1; [ 0; 5] = 1; [ 1] = 1; [ 1; 3] = 2.

9Справедливо утверждение: дробная часть любого числа является неотрицательным числом меньшим единицы, т.е. 0 x < 1 для любого числа x. Например, f0; 5g = 0; 5 [0; 5] = 0; 5; 1 = 1 [1] = 0; 1; 3 = 0; 3;

f0; 5g = 0; 5 [ 0; 5] = 0; 5; f1; 3g = 1; 3 [ 1; 3] = 0; 7.

4

Поясним второе: если, например, " = 1=10, то для всех n > 10 (n 11) выполняется неравенство 1=n < ", т. е., например, 9a = 1=11 2 A : a < ", если " = 3=100, то для всех n > 100=3 (n 34) выполняется неравенство 1=n < ", т. е., например, 9a = 1=34 2 A :

1

a < ", ò. å. 8 " > 0 9 a = [1="] + 1 2 A : a < ". Здесь выражение [1="] есть целая часть числа 1=".

5