Лекция 9. Свойства пределов последовательности

9.1.Единственность предела

Теорема 9.1.1. Если последовательность имеет предел, то он е д и н с т в е н н ы й.

Доказательство. Предположим противное пусть

для определ¼нности положим a < b. Возьм¼м " = b a > 0, ò. å. U"(a) \ U"(b) = ;.

4

Пользуясь сходимостью последовательности fang к a, находим число N1 такое, что для âñåõ n > N1

Точно также в силу сходимости последовательности fang к b существует число N2 такое, ÷òî äëÿ âñåõ n > N2

Выберем число N = max(N1; N2). При n > N выполняются оба неравенства и (9.1), è (9.2), следовательно, для всех n > N

b " < an < a + ";

но тогда b " < a+". Значит, 0 < b a < b 2 a, òàê êàê " = b 4 a. Пришли к противоречию. Теорема доказана.

Рис. 1: Иллюстрация к доказательству теоремы о единственности предела.

Приведенное доказательство иллюстрирует рисунок 1. Мы брали непересекающиеся " окрестности точек a и b (рис. 1 (а)) и получили противоречие за сч¼т того, что все

члены последовательности с достаточно большими номерами должны принадлежать пересечению этих окрестностей (рис. 1 (б)).

В доказательстве теоремы использовались неравенства 9.1 è (9.2), из которых первое имело место при n > N1, второе при n > N2. Чтобы выполнялись оба эти неравенства, мы брали n > N = max(N1; N2). Такой при¼м будет часто использоваться в дальнейшем без пояснений.

9.2.Теорема "о двух милиционерах\

Теорема 9.2.1. Пусть последовательности fang è fcng сходятся к одному и тому же пределу и для всех n выполняется

1

тогда последовательность fbng сходится к тому же пределу.

Доказательство. Обозначим a = lim an = lim cn, тогда теорему можно сформули-

ровать короче:

n!1 n!1

Для произвольного " > 0 находим N такое, что при всех n > N выполняются неравен-

ñòâà

a " < an < a + " è a " < cn < a + ":

Тогда для таких n

a " < an bn cn < a + ";

ò. å. bn 2 U"(a) для всех n > N, что и требовалось доказать.

Замечание 9.1. Очевидно, что теорема справедлива и в случае строгих неравенств

an < bn < cn:

Замечание 9.2. Поскольку сходимость или расходимость последовательности и значение предела, если последовательность сходится, не зависят от ее начальных членов, то теорема справедлива и в случае, когда неравенства (9.3) выполняются начиная с некоторого номера. Подобное замечание можно будет сделать и к некоторым последующим теоремам, но не будем заострять на этом внимание.

Пример 9.1. Доказать, что lim 3n = 0:

n!1 nn

Для всех n 6 верно неравенство n3 12, поэтому

0 < n3 n 12 n

при n 6. Здесь слева и справа стоят члены последовательностей, имеющих пределом ноль1. Значит, по теореме "о двух милиционерах\ è

lim 3n = 0:

n!1 nn

9.3.Аналог теоремы "о двух милиционерах\ для бесконечно больших последовательностей

Теорема 9.3.1. Пусть lim an = +1 è äëÿ âñåõ n выполняется an bn; тогда и

n!1

lim bn = +1:

n!1

1Смотри предыдущую лекцию.

2

Доказательство. Для любого E > 0 находим N такое, что при всех n > N выполня-

ется неравенства

an > E:

Тогда для таких n

E< an bn;

ò.å. bn 2 U"(+1) для всех n > N, что и требовалось доказать.

Пример 9.2. Доказать, используя аналог теоремы "о двух милиционерах\ для бесконечно больших последовательностей, что

lim (n!) = +1:

n!1

9.4.Предельные переходы в неравенствах

Теорема 9.4.1. Члены сходящихся последовательностей fang è fbng начиная с некоторого номера будут связаны тем же неравенством, что и их пределы, короче, если

Рис. 2: Иллюстрация к доказательству теоремы 9.4.1.

Для данного " находим N такое, что при всех n > N выполняются неравенства b " < bn < b + " è a " < an < a + ":

Тогда для таких n

bn < b + " < a " < an;

что и требовалось доказать.

Теорема 9.4.2. Если члены сходящихся последовательностей связаны нестрогим неравенством

an bn 8 n 2 N;

то пределы этих последовательностей также связаны нестрогим неравенством

lim an lim bn:

n!1 n!1

3

но это противоречит условию an bn доказываемой теоремы.

Замечание 9.1. Åñëè â теореме 9.4.2 вместо нестрогих неравенств an bn выполненяются строгие неравенств an < bn, то для пределов вс¼ равно будет справедливо только нестрогое

неравенство lim an lim bn.

n!1 n!1

Это видно на примере последовательностей an = 0 è bn = 1=n, для которых an < bn

при всех n 2 N, в то время как lim an = lim bn = 0:

n!1 n!1

Поэтому при переходе к пределу в неравенствах необходимо соблюдать следующее правило.

Если существуют пределы выражений в левой и правой частях с т р о г о г о неравенства, то при переходе к пределу в этом неравенстве с т р о г о е неравенство нужно заменить на н е с т р о г о е .

9.5.Ограниченность и сходимость последовательности

Определение 9.1. Последовательность о г р а н и ч е н а, если ограничено числовое множество значений ее членов.

В символах: fang ограниченная последовательность (о г р а н и ч е н а), если

9C > 0 : 8 n 2 N janj C:

Ä/Ç: Сформулировать в символах определения ограниченной последовательности сверху (снизу), неограниченной последовательности сверху (снизу), неограниченной последовательности.

Теорема 9.5.1. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть lim an = a. Взяв " = 1, находим N такое, что jan aj < 1

n!1

для всех n > N. Тогда при этих n

janj = jan a + aj jan aj + jaj < 1 + jaj:

Поэтому, положив C = maxfja1j; ja2j; : : : ; jaN j; 1 + jajg; получим janj C при всех n, т. е. последовательность fang ограничена.

Замечание 9.1. Ограниченность последовательности н е о б х о д и м о е условие ее схо-

димости, т. е. если последовательность неограниченная, то она расходится. Из ограничен-

ности последовательности не следует ее сходимость. Например, ограниченная последова- тельность an = ( 1)n является расходящейся.

Из расходимости последовательности не следует ее неограниченность. Примером является та же последовательность f( 1)ng.

Теорема 9.5.2. Если lim an = a 6= 0, òî

n!1

4

что и требовалось доказать.

В частности, все члены сходящейся последовательности с достаточно большими номерами положительны, если е¼ предел положителен, и отрицательны, если предел отрицателен.

5