Лекция 7. Полезные неравенства; гиперболические функции

7.1.Полезные неравенства

Функция y = sin x удовлетворяет неравенству j sin xj jxj:

Очевидно, что это неравенство выполняется при x = 0, так как sin 0 = 0.

Пусть 0 < x < =2. Рассмотрим на

единичной окружности дугу

AK длины x. Сектор круга AOK, опирающийся на эту дугу, имеет площадь x=2. Треугольник AOK, образованный радиуса-

ми круга и хордой, стягивающей эту ду- гу, имеет площадь 12 sin x. Очевидно, что этот треугольник вписан в сектор, следо-

вательно, его площадь не больше площади сектора, откуда вытекает неравенство

В силу нечетности функции синуса при =2 < x < 0 имеет место обратное нера-

x 1

венство 2 2 sin x, íî ïðè ýòîì j sin xj jxj.

При jxj =2 > 1 последнее неравенство тем более имеет место, так как j sin xj 1 при любом x. Справедливость неравенства установлена.

Нетрудно видеть, что при x 6= 0 неравенство выполняется в строгом смысле.

Функция y = tg x удовлетворяет неравенству j tg xj jxj при jxj < =2:

Очевидно, что это неравенство выполняется при x = 0, так как tg 0 = 0.

Пусть 0 < x < =2. Рассмотрим на единичной окружности дугу AK длины x. Сектор круга AOK, опирающийся на эту дугу, имеет площадь x=2. Треугольник AOL,

образованный радиусом круга AO, касательной к окружности OL, и отрезком пря-

мой, проходящей через центр окружности и точку K дуги, имеет площадь 12 tg x. Очевидно, что сектор вписан в треугольник, следовательно, его площадь не больше

площади треугольника, откуда вытекает неравенство

В силу нечетности функции тангенса при =2 < x < 0 имеет место обратное нера-

x 1

венство 2 2 tg x, но при этом j tg xj jxj, что и требовалось доказать. Нетрудно видеть, что при x 6= 0 неравенство выполняется в строгом смысле.

1

Функция y=arcsinx удовлетворяет неравенству j arcsin xj jxj:

Обозначим y = arcsin x, тогда x = sin y. Так как j sin yj jyj, то j arcsin xj jxj, что

и требовалось доказать.

Функция y = arctg x удовлетворяет неравенству j arctg xj jxj:

Обозначим y = arctg x, тогда x = tg y. Так как j tg yj jyj, то j arctg xj jxj, что и требовалось доказать.

7.2.Гиперболические функции

Гиперболические функции семейство элементарных функций, задаваемые следую-

Наименование ¾гиперболические функции¿ объясняется тем, что геометрически функции sh x, ch x могут быть определены из рассмотрения равнобочной гиперболы по тем же

правилам, по которым функции sin x, cos x были определены из рассмотрения единичной окружности.

Из формул задания гиперболических функций следует, что sh x, ch x, th x заданы на всей числовой прямой, cth x определен всюду на числовой прямой, за исключением точки x = 0.

Функция y = sh x нечетная, строго возрастающая. Функция y = ch x четная, строго убывающая на (1; 0] и строго возрастающая на [0; +1). Функции y = th x и y = cth x нечетные, причем j th xj < 1, j cth xj > 1.

На рис. изображены графики гиперболических функций, а на рис. приведено взаимное расположение графиков y = sh x, y = ch x и y = th x, y = cth x.

Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например, для гиперболических функций имеют место теоремы сложения, аналогичные теоремам сложения для тригонометрических функций. Именно:

Из формулы (7.1) с помощью подстановки y = x, получим основное гиперболическое

тождество:

ch2 x sh2 x = 1;

посредством подстановки y = x, получим формулу гиперболического косинуса удвоенного

аргумента:

ch 2x = ch2 x + sh2 x;

из которой с помощью основного гиперболического тождества получаются часто употребляемые формулы понижения степени:

Из формулы (7.1), используя подстановку y = x, получим формулу гиперболического

синуса удвоенного аргумента:

sh 2x = 2 sh x ch x:

Ä/Ç: Доказать теоремы сложения для гиперболических функций, получить из них все приведенные формулы.

7.3.Обратные гиперболические функции

Функции y = sh x, y = th x, y = cth x взаимно-однозначные на всей области определе-

ния, поэтому обратимы, их обратные функции называются и обозначаются соответственно:

а р е а с и н у с гиперболический: y = arsh x; x 2 R;

а р е а т а н г е н с гиперболический: y = arth x; x 2 R:

а р е а к о т а н г е н с гиперболический: y = arсth x; jxj > 1:

Графики указанных обратных гиперболических функций получаем симметрией относительно прямой y = x графиков функций y = sh x, y = th x, y = cth x.

Функция y = ch x не является взаимно-однозначной на области определения. Обратимыми являются ее правая y = ch x, x 2 [0; +1), и левая y = ch x, x 2 ( 1; 0], ветки. Функцию, обратную для y = ch x, x 2 [0; +1) будем называть г л а в н ы м з н а ч е н и - е м а р е а к о с и н у с а гиперболического и обозначать y = arch x, x 1. Обратная для y = ch x, x 2 ( 1; 0], выражается через главное значение ареакосинуса гиперболического как arch x, x 1.