8111 лекции 1-36 / Лекция_7._Полезные_неравенства;_гиперболические_функции
.pdfЛекция 7. Полезные неравенства; гиперболические функции
7.1.Полезные неравенства
Функция y = sin x удовлетворяет неравенству j sin xj jxj:
Очевидно, что это неравенство выполняется при x = 0, так как sin 0 = 0.
Пусть 0 < x < =2. Рассмотрим на
единичной окружности дугу
AK длины x. Сектор круга AOK, опирающийся на эту дугу, имеет площадь x=2. Треугольник AOK, образованный радиуса-
ми круга и хордой, стягивающей эту ду- гу, имеет площадь 12 sin x. Очевидно, что этот треугольник вписан в сектор, следо-
вательно, его площадь не больше площади сектора, откуда вытекает неравенство
1 |
sin x |
x |
èëè sin x x: |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
В силу нечетности функции синуса при =2 < x < 0 имеет место обратное нера-
x 1
венство 2 2 sin x, íî ïðè ýòîì j sin xj jxj.
При jxj =2 > 1 последнее неравенство тем более имеет место, так как j sin xj 1 при любом x. Справедливость неравенства установлена.
Нетрудно видеть, что при x 6= 0 неравенство выполняется в строгом смысле.
Функция y = tg x удовлетворяет неравенству j tg xj jxj при jxj < =2:
Очевидно, что это неравенство выполняется при x = 0, так как tg 0 = 0.
Пусть 0 < x < =2. Рассмотрим на единичной окружности дугу AK длины x. Сектор круга AOK, опирающийся на эту дугу, имеет площадь x=2. Треугольник AOL,
образованный радиусом круга AO, касательной к окружности OL, и отрезком пря-
мой, проходящей через центр окружности и точку K дуги, имеет площадь 12 tg x. Очевидно, что сектор вписан в треугольник, следовательно, его площадь не больше
площади треугольника, откуда вытекает неравенство
1 |
tg x |
x |
èëè tg x x: |
|
2 |
|
2 |
В силу нечетности функции тангенса при =2 < x < 0 имеет место обратное нера-
x 1
венство 2 2 tg x, но при этом j tg xj jxj, что и требовалось доказать. Нетрудно видеть, что при x 6= 0 неравенство выполняется в строгом смысле.
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
Функция y=arcsinx удовлетворяет неравенству j arcsin xj jxj:
Обозначим y = arcsin x, тогда x = sin y. Так как j sin yj jyj, то j arcsin xj jxj, что
и требовалось доказать.
Функция y = arctg x удовлетворяет неравенству j arctg xj jxj:
Обозначим y = arctg x, тогда x = tg y. Так как j tg yj jyj, то j arctg xj jxj, что и требовалось доказать.
7.2.Гиперболические функции
Гиперболические функции семейство элементарных функций, задаваемые следую-
щими формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ã è ï å ð á î ë è ÷ å ñ ê è é |
ñ è í ó ñ: sh x = |
ex e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ã è ï å ð á î ë è ÷ å ñ ê è é |
ê î ñ è í ó ñ: ch x = |
ex + e x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ã è ï å ð á î ë è ÷ å ñ ê è é |
ò à í ã å í ñ: th x = |
sh x |
= |
ex e x |
= |
e2x 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
e2x + 1 |
||||||||||||
|
|
|
ch x ex + e x |
|
||||||||||||
ã è ï å ð á î ë è ÷ å ñ ê è é |
|
|
|
|
ch x |
|
ex + e x |
|
e2x + 1 |
|||||||
ê î ò à í ã å í ñ: cth x = |
|
|
= |
|
= |
|
|
|||||||||
sh x |
ex e x |
e2x 1 |
Наименование ¾гиперболические функции¿ объясняется тем, что геометрически функции sh x, ch x могут быть определены из рассмотрения равнобочной гиперболы по тем же
правилам, по которым функции sin x, cos x были определены из рассмотрения единичной окружности.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
Из формул задания гиперболических функций следует, что sh x, ch x, th x заданы на всей числовой прямой, cth x определен всюду на числовой прямой, за исключением точки x = 0.
Функция y = sh x нечетная, строго возрастающая. Функция y = ch x четная, строго убывающая на (1; 0] и строго возрастающая на [0; +1). Функции y = th x и y = cth x нечетные, причем j th xj < 1, j cth xj > 1.
На рис. изображены графики гиперболических функций, а на рис. приведено взаимное расположение графиков y = sh x, y = ch x и y = th x, y = cth x.
Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например, для гиперболических функций имеют место теоремы сложения, аналогичные теоремам сложения для тригонометрических функций. Именно:
ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y; |
(7.1) |
sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y: |
(7.2) |
Из формулы (7.1) с помощью подстановки y = x, получим основное гиперболическое
тождество:
ch2 x sh2 x = 1;
посредством подстановки y = x, получим формулу гиперболического косинуса удвоенного
аргумента:
ch 2x = ch2 x + sh2 x;
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
из которой с помощью основного гиперболического тождества получаются часто употребляемые формулы понижения степени:
ch2 x = |
ch 2x + 1 |
; sh2 x = |
ch 2x 1 |
: |
|
|
|||
2 |
2 |
|
Из формулы (7.1), используя подстановку y = x, получим формулу гиперболического
синуса удвоенного аргумента:
sh 2x = 2 sh x ch x:
Ä/Ç: Доказать теоремы сложения для гиперболических функций, получить из них все приведенные формулы.
7.3.Обратные гиперболические функции
Функции y = sh x, y = th x, y = cth x взаимно-однозначные на всей области определе-
ния, поэтому обратимы, их обратные функции называются и обозначаются соответственно:
а р е а с и н у с гиперболический: y = arsh x; x 2 R;
а р е а т а н г е н с гиперболический: y = arth x; x 2 R:
а р е а к о т а н г е н с гиперболический: y = arсth x; jxj > 1:
Графики указанных обратных гиперболических функций получаем симметрией относительно прямой y = x графиков функций y = sh x, y = th x, y = cth x.
Функция y = ch x не является взаимно-однозначной на области определения. Обратимыми являются ее правая y = ch x, x 2 [0; +1), и левая y = ch x, x 2 ( 1; 0], ветки. Функцию, обратную для y = ch x, x 2 [0; +1) будем называть г л а в н ы м з н а ч е н и - е м а р е а к о с и н у с а гиперболического и обозначать y = arch x, x 1. Обратная для y = ch x, x 2 ( 1; 0], выражается через главное значение ареакосинуса гиперболического как arch x, x 1.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
5 |
|
|
Пример 7.1. Доказать, что функция
y = arsh x; x 2 R;
является элементарной.
Данная функция является обратной к функции y = sh x. Чтобы получить ее аналитическое выражение нужно уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
ex e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 R |
|
|
|
|
|
квадратному относительно ex уравнению |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||
разрешить относительно переменной x для каждого |
|
|
|
. Это уравнение сводится к |
||||||||||||||||
|
|
|
|
+p |
|
(ex)2 2yex 1 = 0: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
+ |
|
|
|
|
= ln |
|
|
+ |
|
|
+ 1 . Поменяв обозначения |
||||||||
Отсюда находим ex = y |
|
|
y2 + 1. Условию ex |
> 0 при любых y |
2 R удовлетворяет только |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x + p |
|
|
|
|||||||||||||||
зависимой и независимой переменных, получим y |
|
x2 |
+ 1 |
. Таким образом, аре- |
||||||||||||||||
решение ex |
y |
p |
|
1, соответственно, x |
|
= ln |
|
p |
|
|
|
|||||||||
|
y2 |
|
|
|
|
y |
|
y2 |
|
|
|
|
||||||||
асинус гиперболический задается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
arsh x = ln x + p |
|
; |
|
x 2 R: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
Видно, что эта функция получается с помощью конечного числа арифметических операций и композиций степенных логарифмической функций, т. е. является элементарной.
Ä/Ç: Получить выражения для обратных гиперболических функций:
arth x = |
1 |
ln |
1 + x |
; |
jxj < 1; |
||
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
arcth x = |
1 |
ln |
x |
+ 1 |
; |
jxj > 1; |
||
|
|
|
|
|||||
2 |
x |
|
1 |
|||||
arch x = ln x + p |
|
|
; |
|
||||
|
x 1: |
|||||||
x2 1 |