Замечание 28.3. Производная дифференцируемой на интервале функции может иметь точки разрыва второго рода. Например, если
(
f(x) = x2 sin(1=x) ïðè x 6= 0;
0ïðè x = 0;
òî |
(0 |
ïðè x = 0: |
||
|
||||
|
f0(x) = 2x sin(1=x) cos(1=x) |
ïðè x 6= 0; |
||
Òàê êàê f0(0) = 0, à lim f0(x) не существует, то x = 0 |
|
точка разрыва второго рода |
||
x!0
функции f0(x).
28.5.Теорема Коши
Теорема 28.5.1. Пусть функции f(x) и g(x)
1.непрерывны на отрезке [a; b],
2.дифференцируемы в интервале (a; b),
3.8x 2 (a; b) g0(x) 6= 0.
Тогда существует точка 2 (a; b) такая, что
f(b) |
f(a) |
|
= |
f0( ) |
: |
(28.4) |
||
g(b) |
|
|
g0( ) |
|||||
|
g(a) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. В случае g(x) = x теорема Коши совпадает с теоремой Лагранжа.
Доказательство данной теоремы будет идти по той же схеме.
Рассмотрим функцию F (x) = f(x) g(x). Она непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b). Чтобы к F (x) можно было применить теорему Ролля, составим уравнение
f(a) g(a) = f(b) g(b);
решив которое, получим
= f(b) f(a): g(b) g(a)
Для этого имеем F (a) = F (b), значит, существует точка 2 (a; b), в которой F 0( ) = 0.
Таким образом,
f0( ) f(b) f(a) g0( ) = 0: g(b) g(a)
Òàê êàê g0( ) 6= 0, то обе части этого равенства можно разделить на g0( ), ÷òî äà-
¼ò (28.4).
Теорема доказана.
6