1. Угол между плоскостями

Пусть даны 2 плоскости

: A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁ = 0

: A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂ = 0

 = (, ) = (N₁, N₂) N₁ =( A₁,B₁,C₁); N₂ =( A₂,B₂,C₂);

Из скалярного произведения векторов:

cos  = (N₁*N₂) / N₁ *N₂  =

= (A₁*A₂+B₁*B₂+C₁*C₂) / ( A₁² +B₁² +C₁²) *  ( A₂² +B₂² +C₂²)

2. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х плоскостей

1)  . Две плоскости параллельны тогда и только тогда когда равны отношения соответствующих координат их нормальных векторов и эти отношения не равны отношениям свободных членов (именно не равны, так как в противном случае плоскости будут не параллельными, а совпадающими в пространстве).

N₁N₂ A₁ / A₂ = B₁ / B₂ = C₁ / C₂  D₁ / D₂

2) Пусть

   N₁  N₂ N₁ * N₂ = 0, т.о. A₁ *A₂ + B₁ * B₂ + C₁ * C₂ = 0

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда когда скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю.

3. Расстояние от плоскости до точки

: A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁ = 0 – плоскость; M(x₁,y₁,z₁) – точка.

Тогда расстояние от точки до плоскости:

M(x₁,y₁,z₁) |A₁*x₁ + B₁*y₁ + C₁*z₁ + D₁ |

d d =

 (A₁² + B₁² + C₁² )

Знак модуля необходим, поскольку

выражение A₁*x₁ + B₁*y₁ + C₁*z₁ + D₁

 может дать отрицательный результат,

а расстояние положительная величина.

4. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

Даны точки: M₁(x₁,y₁,z₁) ; M₂(x₂,y₂,z₂) ; M₃(x₃,y₃,z₃) ; Все эти точки лежат в одной плоскости.

Пусть M(x,y,z) – некоторая точка этой же плоскости.

Построим три вектора:

M₂

M₃ M₁M = (x-x₁ ; y-y₁ ; z-z₁ )

M₁ M₁M₂ = (x₂-x₁ ; y₂-y₁ ; z₂-z₁ )

M M₁M₃ = (x₃-x₁ ; y₃-y₁ ; z₃-z₁)

Поскольку все три вектора лежат в одной плоскости, то они компланарны. Так как векторы компланарны, то

M₁M * M₁M₂ * M₁M₃ = 0

Данное соотношение и определяет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

x-x₁ y-y₁ z-z₁ уравнение плоскости,

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ = 0 проходящей через

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁ 3 заданные точки

3. Прямая линия в пространстве

   1. Параметрическое уравнение прямой в пространстве и каноническое уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим в пространстве прямую “l”

l

S M M₁(x₁,y₁,z₁)  l, S  l ,

M₁ S = (m,n,p)

Вектор S - направляющий вектор прямой.

ПустьM(x,y,z) – некоторая точка прямой. Тогда M₁M = (x-x₁ ; y-y₁ ; z-z₁ )

т.к. M₁MS , имеем:

(x-x₁) / m = (y-y₁ ) / n = (z-z₁ ) / k = t - каноническое уравнение

прямой в пространстве.

(x-x₁) = m*t x = x₁ + m*t - параметрические

(y-y₁) = n*t ; y = y₁ + n*t уравнения/

(z-z₁) = k*t z = z₁ + k*t

2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки

Даны: M₁(x₁,y₁,z₁); M₂(x₂,y₂,z₂) – принадлежащие прямой l

l

M₂

M₁

S = M₁M₂ = (x₂-x₁ ; y₂-y₁ ; z₂-z₁ )

Тогда

(x-x₁) / (x₂-x₁) = (y-y₁ ) / (y₂-y₁) = (z-z₁ ) / (z₂-z₁) - уравнение

прямой, проходящей через

две заданные точки.

3. Прямая, как линия пересечения двух плоскостей

Пусть две плоскости пересекаются по прямой.

Имеем : A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁ = 0

: A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂ = 0

   = l – прямая линия

A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁ = 0 - общее уравнение прямой

l : A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂ = 0 в пространстве.

 l

N₁ S

 N₂

Если две плоскости пересекаются по одной прямой, то

S = N₁ x N₂

Направляющий вектор этой прямой линии равен векторному произведению нормальных векторов обоих плоскостей.