Чтобы величина R3 оказалась вещественной, необходимо обес-

печить условие 4π2R1R2fц2C2 > 1, т. е. fц > 1/2π R1R2 . Определив

сопротивления резисторов R1, иR2, можно оценить реализуемость резистора R3.

1.8. Фильтры, построенные по методу переменных состояния

Фильтры такого типа сложнее рассмотренных ранее. В их состав входят три или даже четыре операционных усилителя. Такое

усложнение схемы фильтра сопровождается расширением его функциональных возможностей: микросхема такого фильтра по-

зволяет осуществить любой из рассмотренных ранее фильтров (нижних частот, верхних частот или полосовой). Добавление еще одного усилителя в схемудает возможность строить на ее основе даже подавляющие полосовые фильтры.

Схема фильтра, реализованного в виде единой микросхемы,

приведена на рис. 1.15. Она содержит суммирующий усилитель ОУ1 с тремя входами 1, 2 и 3 и два интегратора на операционных

усилителях ОУ2 и ОУ3. Наличие двух конденсаторов в схеме свидетельствует отом,что это цепь второго порядка.

Рис 1.15

30

Частота среза цепи второго порядка определяется частотами

среза интеграторов fср1 = 1/2πR4*C1 иfср2 = 1/2πR5*C2. Поскольку эти

частоты должны быть равнымиfср1= fср, то приняв С1 = С2 = С, получим R4* = R*5 = R. Внешними резисторами R4* и R5* можно ре-

гулировать частоту среза микросхемыfср. Лучше всего это осуществить сдвоенным резистором.

Как и во всяком активном фильтре, демпфирование или добротность фильтра определяются коэффициентом усиления схемы

по напряжению. Как следует из рис.1.14, он зависит здесь от пяти резисторов R1, R2, R3, R6 и R7*. Удобнее всего менять усиление резисторами R1 и R7*, которые легко сделать выносными, сохраняя сопротивление остальных резисторов.

Суммирующий усилитель характеризуется тремя коэффициентами усиления:

•коэффициентом усиления по входу 1: KU1 = − R3/ R1;

•коэффициент усиления по входу 2: KU2 = − R3/ R2;

•коэффициент усиления по входу 3: KU3 = 1+ R3/(R1 R2). Сигнал, поступающий на вход 3, равен

Uвх3 = Uвых2 R*7/( R6 + R*7) = βUвых2, где β = R*7/( R6 + R*7).

Поскольку микросхема имеет три выходных вывода, то рационально построить ее обобщенную математическую модель, предусматривающую возможность получения из нее трех частных моделей, применительно к каждому выходному выводу.

Инвертирующие входы операционных усилителей ОУ2 и ОУЗ находятся под потенциалом Земли, следовательно, Uвых2 = − Uвых1/

/R*С р иUвых3 = − Uвых2/ R* Ср.

Сигнал на выходе ОУ1 определяется суммой сигналов на его входах с учетом соответствующих коэффициентов усиления:

Uвых1 = + UвхKU1 + Uвых3KU2 + Uвых2 βKU3.

Фильтр верхних частот. После соответствующей подстановки и элементарных алгебраических преобразований получим обобщенную передаточную функцию схемы

31

Из (1.26) следует, что это фильтр верхних частот. Каноническая форма моделитакогофильтра,как известно,имеет вид

α = R*7/( R6 + R*7)[1+ R3/(R*1 R2)].

Полосовой фильтр. Его передаточная функция (см. рис. 1.15) определяется умножением передаточной функции (1.26) на передаточную функцию интегратора на ОУ2:

Здесьωц − центральная частота полосового фильтра.

Фильтр нижних частот. Данная микросхема позволяет стро-

ить на ее основе не только фильтры верхних частот и полосовые фильтры,но ифильтры нижних частот.

Это возможно, если умножитьпередаточную функцию (1.29) на передаточную функцию второго интегратора:

32

Сравнивая с канонической формой передаточной функции фильтра нижних частот, получаем:

Анализ (1.28), (1.30) и (1.32) показывает, что все три фильтра в этой микросхеме настраиваются одинаково в отношении критиче-

ских частот (резистором R*) и коэффициентов демпфирования (резисторами R1* и R7*). При этом в случае фильтров верхних и ниж-

них частот представляется возможным реализовать как фильтр Бесселя,так ифильтрБаттерворта,атакже фильтрЧебышева любого порядка.

Ноесли подбирать навесные элементымикросхемы ориентируясь на оптимальный фильтр верхних или нижних частот, невоз-

можно получить оптимальный по параметрам полосовой фильтр. Так, например, синтезировав оптимальный с определенной точки

зрения фильтр Бесселя, получим плохой полосовой фильтр. При одинаковойхарактеристическойчастоте fц полоса пропускания такого фильтра окажется равной

∆f = fц α = 1,73 fц .

В случае фильтра Баттерворта ∆f = 1,41 fц. Приличная избирательность обеспечивается лишь приα < 1. Например, приα = 0,1

полоса пропускания ∆f = 0,1 fц. При этом на двух других выходах микросхемы будут наблюдаться напряжения, соответствующие фильтрам с пульсациями коэффициента передачив полосе про-

пускания идаже в полосе задержания.

Пример. В реальных микросхемах R2 =100 кОм. Положим, что для простоты расчета резисторыR*1 = R2 = R3 = R = 10 кОм; а резистор R*4 = R*5 = R1 = 4,7 кОм; резистор R6 = 22 кОм, а резистор R*7 = 1,2 кОм. Емкости конденсаторов: С1 = С2 = С = 0,01 мкФ.

Определить следующее:

•типфильтра (Бесселя, Баттерворта илиЧебышева);

•частоту среза фильтра верхних и нижних частот;

•центральную частоту полосового фильтра;

•полосу пропускания полосового фильтра;

•усиление полосового фильтра на центральной частоте.

33

Решение. Тип фильтра обусловлен коэффициентом демпфиро-

вания. Для всех трех выходов микросхемыα находится одинаково, по одной и той же формуле:

α = [R*7/(R6 + R*7)] [1+ R3/(R*1 R2)] =

=[1,2кОм/(1,2 кОм+22кОм)][1+10кОм/(10кОм 10кОм)] = =[1,2кОм/(1,2 кОм+22кОм)](1+2)= 3,6кОм/23,2кОм = 1,059.

Таким образом, по выходам 1 и 3 получается фильтр Чебышева

с пульсациями в 1 дБ.

Частотусреза в фильтрах верхних и нижнихчастот (выходы 1 и 3), а также центральную частоту полосового фильтра определяют

Частота среза фильтра нижних частот должна быть скорректирована:

fср ФНЧ = fср K1 = 3,386 кГц0,673 = 2,279 кГц.

Частотасрезаверхнихчастотдля фильтраЧебышева равна

fср ФВЧ = fср /K1 = 3,386 кГц/0,673 = 5,031 кГц.

Центральная частота полосового фильтраfц = 3,386 кГц. Полоса

пропускания полосового фильтра ∆f = fцα = 3,386 1,059 = = 3,586 кГц. Усиление полосового фильтра на центральной частоте

K0 = Q = 1/α = 1/1,059 = 0,9443.

Поскольку рассматриваемая микросхема позволяет получить фильтр верхних, нижних и полосовых частот только второго по-

рядка, то для создания фильтров более высокого порядка необходимо каскадирование такихфильтров.

1.9. Фильтры накоммутируемых конденсаторах

Основной недостаток рассмотренных фильтров – необходимость точного согласования входящих в их состав пассивных эле-

ментов. В фильтрах по методу переменных состояний требуется также согласование постоянных времени интеграторов, т.е. обес-

печение равенства R*4C1 = R*5C2.

Что касается конденсаторов, то при их изготовлении средствами интегральной технологии гарантируется одинаковый разброс их номинальных значений, т.е. они оказываются согласованными. Сложнее с резисторами. Точность согласования номинальных со-

34

противлений резисторов не должна быть хуже 2%. Эту задачу труднее решать средствами интегральной технологии. Задача становится еще сложнее, если сопротивления резисторов должны быть переменными. Настройка фильтров, как известно, сопряжена с подстройкой резисторов. На сегодняшний деньдля этого принято применять коммутируемые конденсаторы (рис. 1.16).

Рис.1.16

Если в схеме (рис. 1.16, а) напряжения на зажимах источников неодинаковы, напримерU2 < U1 , то через резисторR течет ток I = =(U2 − U1)/R. Этосправедливов случае идеальных источников напряжения с нулевыми внутренними сопротивлениями.

Схема на рис. 1.16, б является аналогом схемы на рис. 1.16, а. Здесь ключ Кл переключается из положения1 в положение 2 и обратно с частотойfк = 1/T. В положении1 в силу U2<U1 происходит дозаряд конденсатора, и от источника U1 потребляется ток. При переключении ключа Кл в положение 2 конденсатор подразряжа-

ется, отдавая ток в источник U2. Таким образом, коммутация конденсатора сопровождается изменением заряда на его обкладках,

равным ∆Q = C(U1 − U2). Отсюда среднее значение тока, протекающегоиз U1 в U2, оказывается равным I = ∆Q/τ = (С/τ)(U1− U2)=

Эквивалентное сопротивление легко регулировать, т.е. менять по любому закону, изменяя соответственно частоту коммутации конденсатора. Подстраивать его можно с любой желаемой точно-

35

стью. При этом необходимо иметь в виду, чтоподобная цепь по существуработает врежимедискретизациитока (рис. 1.17).

Рис. 1.17

Коммутацию конденсатора легко осуществлять с помощью ключей на полевых транзисторах(рис. 1.18).

Транзисторные ключи, выполняемые на существующих полевых транзисторах, позволяют реализовать практически нулевые сопротивления во включенном состоянии и практически бесконечные в выключенном состоянии.

Схема активного конденсаторного фильтра нижних частот представлена на рис. 1.19.

Частота среза этого фильтра

fср = 1/2πRэкC2 = C1f/2πC2 = (fк/2π)(C1/C2).

36

мах. Дополнительно здесь просто создать пару согласованных конденсаторов с одинаковыми допусками и одинаковыми температурными дрейфами их параметров.

Как следует из принципа действия фильтров наоснове переключаемых конденсаторов, в их основе лежит, по существу, дис-

кретизация (прерывание) входных сигналов. Это может привести к появлению дополнительных помех.

С1

Рис. 1.20

Во-первых, если наряду с полезным сигналом на вход пере-

ключаемого устройства будет поступать помеха с частотой, близкой к частоте коммутации, то в выходном сигнале может

появиться помеха разностной частоты, лежащая в диапазоне частот сигнала.

Например, если fк = 100 кГц, а на входе схемы имеет место по-

меха с частотой 99 кГц≤ fп ≤ 101, то в результате дискретизации (прерывания) на выходе схемы появляется дополнительное напря-

жение (помехи) с частотамиfп1 = fк −fп = 100 кГц− 99 кГц=1 кГц и fп2 = fк + fп = 101 кГц + 100 кГц = 201 кГц. С высокочастотной со-

ставляющей помехи легко справится фильтр нижних частот на входе схемы. Хуже обстоит дело с низкочастотной составляющей

помехи, если она лежит в полосе частот обрабатываемого (прерываемого) сигнала. Так, в нашем примере, если полоса входного

сигнала fс ≥ 1 кГц, то fп1 становится неотделимой от собственно сигнала. Отсюда возникает необходимость в возможно большем разнесениимаксимальнойчастоты сигнала fс max иfк,т.е. обеспеченииfс max < fк,а также в установке фильтра нижних частот на входе

схемы,ослабляющего помехисчастотами fп > fс max.

Во-вторых, помехи могут генерироваться быстрыми перехода-

38