ких степеней в этом случае упрощается из-за исключения взаимного влияния последовательных секций простейших фильтров.

Возможности активных фильтров на высоких частотах ограничиваются конечной полосой пропускания операционных усилителей. По этой причине иногда приходится строить высокочасто-

ные фильтры на дискретных транзисторах. Катушки индуктивности в этом случае имеют приемлемые габариты даже

без сердечников.

Можно, пожалуй, выделить три основных метода синтеза простейших фильтров второго порядка:

•метод Саллена – Кея;

•методмногопетлевых обратных связей;

•метод переменныхсостояния.

1.4. Активный фильтр первого порядка

Фильтр состоит из простейшей цепиRC и неинвертирующего усилителя (рис. 1.9, а). Характер его передаточной функцииопределяется RC-цепью, а его коэффициент передачи– усилением неинвертирующего усилителя. Учитывая практически бесконечное входное сопротивление неинвертирующего усилителя, передаточную функцию фильтра можно представить формулой

W(p) = KUос/(рRC +1), (1.4)

где KUос = 1+Rос/R1 − усиление неинвертирующего усилителя по напряжению. Коэффициент передачи фильтра уменьшается с увеличением частоты.

14

передачи наблюдается уже на частоте f = 0,1 fср. Здесь коэффициент передачи фильтра приблизительно равен

КUср (f = 0,1 fср )= 0,1 KUос.

Сдвиг фазы на частоте среза достигает ϕ(fср) = −45°. Переход от

ПП к ПЗ (0 < f < fср) очень медленный− занимает большую полосу частот.

Выходное сопротивление фильтра практическиравно нулю при

использовании в нем современных операционных усилителей с усилением КU = 105... 107. Входное сопротивление фильтра при-

близительно равноR.

Для компенсации остаточных напряжений на выходе фильтра из-за входных токов смещения необходимо выполнить условие R = R1 || Roc. Если усилитель вводится в режим повторителя напряжения (рис. 1.9, б), то в цепь отрицательной обратной связи необходимо, по постоянному току включить резисторRoc = R.

1.5. Обобщенная схема и обобщенная модель активного фильтравторогопорядка

Такой фильтр также содержит операционный усилитель и пару RС-цепей. В нем нет катушек индуктивности. Обобщенная схема фильтра представлена на рис. 1.10.

Комплексный коэффициент передачи схемы легко находится с использованием простейших приемов электротехники:

Uвых = UБ(1+ Rос /R); UБ= Uвых / KUос; KUос = 1+Rос/R; I4 = UБ/Z4;

I2 = I4 = UБ /Z4 , поскольку входное сопротивление усилителя велико;

15

UА = I4 (Z2+Z4); I1 =(Uвх−UА)/Z1; I3 = I1 − I2 ; UА − I3 Z3 −Uвых = 0.

Решая совместно эти равенства, получаем комплексный коэффициент передачи фильтра – его математическую модель– в виде полинома

Эта модель позволяет реализовать активные фильтры второго порядка как нижних, так и верхних частот.

Схема фильтра нижних частот, приведенная на рис. 1.11, не содержит индуктивностей.

Если положитьZ1 = R1; Z2 = R2; Z3 = 1/pC1; Z4 = 1/pC2, то иполучится фильтр второго порядка нижних частот, построенный с

использованием лишь резисторов и конденсаторов. Соответствующие подстановкив уравнение (1.6) приводят к соотношению

которая хорошо исследована.

16

Сравнивая (1.7) и ( 1.8), получаем,что в канонической форме передаточной функции

KUос = 1+Rос/R; ωср = 1/ R1R2C1C2 ;

Амплитудно-частотные характеристики фильтров удобно строить с использованием понятия нормализованнойчастоты. Для этого полагают ωср = 1, тогда передаточная функция фильтра нижних частот имеет вид

W ( p) = 2 KUoc ,

p +αp +1

где α = R2C2 + R1C2 + R1C1(1−KUос).

Нормированные амплитудно-частотные характеристики различных фильтров нижних частотвторого порядка представлены на рис. 1.3, б.

Как следует из характеристик фильтров первого порядка, коэффициент передачизависит только отчастоты.

В отличие от них, у фильтров второго порядка коэффициент передачи зависит не только от частоты, но и от коэффицие нта

демпфирования α. Чем он больше, тем лучше реакция фильтра на ступенчатое воздействие. Недостаток – существенное ослабление коэффициента передачи в полосе пропускания.

Фильтр верхних частот второго порядка получается, если в обобщенной схеме фильтра поменять местами резисторы и конденсаторы (рис. 1.12).

R3

Рис. 1.12

17

Аналогично предыдущей процедуре получим комплексный коэффициент передачи фильтра:

где α = R1C1 + R1C2 + R2C2(1−KUос).

Обобщенные модели позволяют синтезировать фильтры нижних и верхних частот, а также полосовые фильтры любого типа: Бесселя, Баттерворта или Чебышева. Это активные фильтры вто-

рого порядка с крутизной ±40 дБ/дек, определяющими параметрами которых являются лишь коэффициент демпфирования и часто-

тасреза.

Из соотношений (1.9) и (1.12) следует,что этипараметры зависят от семи элементов активного фильтра. Этоделает задачу синтеза фильтра с желаемыми характеристиками многовариантной. Тем не менее, на сегодняшний день можно назвать лишь три наиболее рациональных метода синтеза таких многопараметрических

фильтров: метод Саллена-Кея, метод двухпетлевых обратных связей и метод переменныхсостояния.

18

1.6. Применение схемыСаллена-Кея длясинтеза активных фильтров второгопорядка

В рамках схемы Саллена-Кея известны два метода синтеза, пригодные для построения активных фильтров нижних и верхних частот.

1.6.1. Расчетфильтров нижнихчастот

Метод первый. Сущность метода однозначно следует из анализа формулы (1.7). Действительно, принявKUос = 1, можно суще-

ственно упростить процедуру синтеза. Она еще более упрощается, если принять R1 = R2 = R. Отсюда для фильтра нижних частот по-

лучим:

Поскольку при синтезе фильтра задаются коэффициент демп-

Соотношения (1.16) и (1.17) позволяют синтезировать активный фильтр нижних частот любого типа (Бесселя, Баттерворта или Чебышева).

Пример. Рассчитать фильтр, удовлетворяющий следующим требованиям:

•крутизна спада амплитудно-частотной характеристики в полосе ослабления −40 дБ/дек;

•коэффициент передачи в полосе пропусканияKUос = 10;

•частота среза fср = 2 кГц;

•характеристика фильтра в полосе пропускания должна быть максимально плоской.

19

Решение. Требованиям отвечает только фильтр Баттерворта.

Его коэффициент демпфирования α= 1,414. Задаваясь, например, емкостью конденсатора С1 = 0,1 мкФ, можно по условию (1.17)

определить емкость конденсатора С2 = С1α2/4 = 0,1 мкФ(1,414)2/4 = =0,05 мкФ.

Теперь в соответствиис (1.16) находим сопротивление резисторов

R = 1/2π fср C1C2 = 1/2π (2 кГц) 0,1мкФ 0,05 мкФ =

= 113 кОм.

Для обеспечения требуемого коэффициента усиления последо-

вательно с активным фильтром, имеющим KUос = 1, приходится включать неинвертирующий линейный усилитель сKUос = 10.

Рассмотренная в приведенном выше примере процедура расчета фильтра корректна только для фильтров Баттерворта. Дело в том, что в фильтрах Бесселя(рис.1.3) fср лежит левее частотысреза фильтра Баттерворта. В равной мере в случае фильтров Чебышева частота среза, как известно, определяется частотой, соответствующей максимуму коэффициента передачи фильтра. Это приво-

дит к необходимости в случае фильтровБесселя и Чебышева коррекции условий (1.16) и(1.14):

R = K1/(2π fср C1C2 )

и

Корректирующий коэффициент K1 используется только при расчете фильтров Бесселя иЧебышева.Значения корректирующих коэффициентов приведены в табл. 1.1.

Пример. Определить тип фильтра и частоту среза, если в предыдущем примере принятьС2 = 0,33 мкФ.

Решение. Коэффициент демпфирования стал равным

20

демпфирования соответствует корректирующий коэффициент (табл. 1.1), близкий к K1 = 0,574. Следовательно, при изменении емкости конденсатора С2 получается новый фильтр, менее демп-

фированный нежели фильтр Чебышева 1 дБ и более демпфированный по сравнению с фильтром Чебышева 0,5 дБ.Значит, в полосе

пропускания будут наблюдаться слабые пульсации коэффициента передачи. Частота максимального значения коэффициента передачиокажется равной (1.18):

fср = K1/(2π RC1C2 ) = 0,574/(2π (1,1кОм)0,1мкФ 0,043 мкФ )=

=1,446 кГц.

Метод второй. Упрощение расчетной модели существенно, если фильтр делать равнокомпонентным, т.е. полагатьR1 = R2 = R и С1 = С2 = С. В данном случае

Пример. Рассчитать, используя второй метод фильтр, анало-

гичный фильтру в первом примере, с теми же исходными данными.

Решение. Поскольку речь идет о фильтре Баттерворта, тоfср =

= K1/2πRC =1/2πRC иR = 1/2πfсрС.

Приняв С = 0,058 мкФ, получим: R = 1/2π (2 кГц)(0,068мкФ) = =11,7 кОм. Принимаем в соответствии с существующим рядом номинальных сопротивлений резисторов R = 12 кОм. Поскольку требуемый коэффициент демпфирования фильтра определяется

коэффициентом усиления линейного усилителя, то KUос = 3 − –1,414 = 1,586. Так как усилитель неинвертирующий, Rос/R3 = =1,586 − 1 =0,586. В соответствиис рис. 1. 11 в неинвертирующий вывод усилителя оказывается включенным по постоянному току

сопротивление RΣ = 2R. Следовательно, для уменьшения выходного остаточного напряжения усилителя из-за входных токов смещения цепь обратнойсвязи усилителя нужно рассчитывать из усло-

21

вия RΣ = RосR3/(Rос + R3). Отсюда,задаваясь R3 = 68 кОм, получаем Rос = 0,586R3 = 39,8 кОм. Для обеспечения требуемого усиления,

равного 10, потребуется еще один неинвертирующийусилитель с

KUос = 10/1,586 = 6,3.

Пример. Определить тип фильтра второго порядка, его частоту среза и коэффициент передачи в полосе пропускания, если R1 =

=R2 = 22 кОм;С1 = С2 = С = 0,47 мкФ; Rос = 91 кОм; R3 = 82 кОм.

Решение. Коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания KUос = 1 + Rос/R1 = 1 + 91/82 = 2,11. Коэффициент демпфиро-

вания α = 3 − KUос = 3 − 2,11 = 0,89.

Из табл. 1.1 следует, что это приблизительно фильтр Чебышева с пульсацией в 2 дБ. Его частота среза fср = K1/2πRC = 0,779/2π×

×(22 кОм)(0,47 мкФ)= 12 Гц.

Сравнение методов расчета. При использовании первого метода необходимо иметь в виду зависимость как коэффициента демпфирования, так и частоты среза от отношения емкостей. Ряд

номинальных значений емкостей конденсаторов достаточно редкий, что затрудняет реализацию фильтра с требуемыми парамет-

рами. Фильтры с малым демпфированием требуют большой разницы в емкостях конденсаторов.

Второй метод позволяет при KUос < 3 его подбором обеспечивать желаемое демпфирование Естественно, что KUос долженбыть меньше 3. В ином случаесхема обращается в генератор. При опре-

делении параметров RC-цепей лучше сначала задаватьсяемкостью конденсатора (из-за слишком редкого ряда номинальных значений

емкостей конденсаторов), а потом вычислять необходимые номиналы сопротивлений резисторов.

1.6.2. Расчетфильтров верхних частот

Поскольку более рационален второй метод расчета фильтров−

метод равных компонентов, синтез фильтров верхних частот и будет рассматриваться по процедурам, аналогичным приведенным

выше. Особенностью расчета здесь является выбор корректирующего коэффициента K2, обратного корректирующему коэффициенту K1, т.е.

K 2 = 1/K 1 иfср = K2/2πRC.

Пример. Фильтр верхних частот имеет следующие параметры: R = 10 кОм;С = 0,1 мкФ; Rос=5,8 кОм; R1 =10 кОм.

22

Определить:тип фильтра,частоту среза икоэффициент передачи в полосе пропускания.

Решение. Коэффициент передачи фильтра – коэффициент усиления неинвертирующего усилителя – равен

KUос = 1 + Rос/R1 = 1+ 5,8 кОм/10 кОм =1,58 кОм.

Коэффициент демпфирования

α= 3 − KUос = 3 − 1,58 = 1,42.

Как следует из табл. 1.1, это фильтр Баттерворта, для которого K1 =1иK 2 = 1/K1 = 1, частота среза

fср =1/2πRC = 1/2π(10 кОм)(0,1 мкФ)= 159 Гц.

Полоса пропускания собственно усилителя, если его частота единичного усиления f (1) =2М Гц, определяется частотой среза f2 = f (1)/KUос = 2 МГц/1,58 = 1,27 МГц.

Следовательно, полоса пропускания сигналов малого уровня

данного фильтра лежит в пределах 159 Гц <f <1,27 МГц.

На частоте f > f2 выходное напряжение фильтра будет умень-

шатьсясо скоростью −20 дБ/дек.

Пример. Рассчитать фильтр для подавления помех в линии передачи прямоугольных импульсов, подключенной к выходу преобразователя напряжения в частоту. Диапазон генерируемых частот 500 Гц < f < 10 кГц. На выходе преобразователя амплитуда импульсов 2,8 В, выходное остаточное напряжение постоянного

тока отлично от нуля. Дополнительно на линию наводятся помехи промышленной частоты,т.е. f п = 50 Гц.

Рассчитать фильтр ослабления помехи не менее чем на 40 дБ при напряжениина выходе линиине менее 2,5 В.

Решение. Поскольку частота сигнала больше частоты помехи, то в данном случае необходим фильтр верхних частот. Передача прямоугольных импульсов со столь крутыми фронтами обусловливает, во избежание заметных искажений формы импульсов, ис-

пользование фильтра Бесселя. Его частоту среза рационально принять равной минимальной частоте сигнала fср = 500 Гц. Отстояние

частоты среза и частоты помехи составит одну декаду: 500 Гц/50Гц=10. На первыйвзгляд кажется,чтодля решения этой задачидостаточно одной секции фильтра Бесселя второго порядка, поскольку она обеспечивает наклон характеристики в полосе ослабления, равный 40 дБ/дек. В самом деле это не так. Из-за дли-

тельного перехода от полосы пропускания к полосе ослабления подавление помехи на частоте fп = 50 Гц окажется меньшим

23

40 дБ/дек. Гарантированное желаемое подавление возможно лишь с использованием фильтра более высокого порядка. Примемтретий порядок фильтра. Это значит, что фильтр должен состоять из двух секций: первая секция– фильтр Бесселя первого порядка, и

втораясекция − фильтр Бесселя второго порядка. Каскадирование простейших фильтров требует коррекции час-

тот среза и коэффициентов демпфирования отдельных секций. Дело в том, что последовательное соединение двухсекций с одина-

ковыми α и fср, например, второго порядка, не приводит к появлению фильтра четвертого порядка с четко выраженной единой

частотой среза. Именно эту задачу − задачу определения коррек-

тирующих коэффициентов − и решали Бессель, Баттерворт и Чебышев при разложении полиномов высокой степени на сомножители. В табл. 1.2 для примера приведены корректирующие коэффициенты только для фильтров 3-го и 4-го порядков. Такие таблицы существуют и для фильтров более высоких порядков.

Таблица 1.2

Тогда для первой секции фильтра, состоящей из R, С и усилителя, получим в соответствиис табл. 1.2: fср = 1/2πRC.

ПриС = 0,068 мкФR = 1/2π (500 Гц)(0,068 мкФ) = 47 кОм.

Параметры второй секции− фильтра Бесселя второго порядка − находим в соответствии с табл. 1.2, согласно которойкоэффициент

демпфирования α = 1,447. Отсюда требуемое усиление линейного

усилителя KUос= 3 − α = 1,553. Отношение сопротивлений цепи обратной связи (рис. 1.12) из условия KUос = 1 + Rос/R3 окажется равным Rос = 0,553 R3.

24

Корректирующий коэффициент из табл.1.2 K2 = 1/K1 = 1/0,997=

= 1,024, тогда частота среза второй секции fср = 1,024/2πR'C = =500 Гц, где R' = R1 = R2. Принимая C1 =C2 = C = 0,1 мкФ, нахо-

дим R' =1,024/2π(500 Гц)(0,1мкФ) =3,3кОм .

Для минимизации остаточных напряжений фильтра из-за входных токов смещения необходимо обеспечить R1 = (Rос || R3) = = 3,3 кОм.

Решаясистемууравнений:

Rос = 0,553 R3,

Rос R3/(Rос+R3) =3,3кОм,

получаем R3 = 9,3 кОм; Rос = 5,1 кОм.

На частоте среза fср коэффициент передачи фильтра окажется

равным KUср = KUос 0,707 = 1,553 0,707 = 1,098. Это означает,что с выхода линии на этой частоте имеем сигнал с амплитудойUл =

= 2,8В 1,098 = 3,07 В. Этобольше, чем требуется по заданию. Наконец, следует определить требования к усилителю фильтра.

Скорректированный операционный усилитель имеет наклон ха-

рактеристики −20 дБ/дек. Это значит, что при KUос = 1,553 на

верхней границе диапазона частотОУ (по мере приближения прямой KUос = const к точке ее пересечения с наклонной прямой с на-

клоном −20 дБ/дек) будет наблюдаться уменьшение коэффициента усиления ОУ. В точке излома уменьшение составляет примерно

30%. Надекадулевее точки излома оно равно 10%, а на дведека-

ды 1%. Чтобы коэффициент передачифильтра на максимальной частоте уменьшался не более, чем на 1%, потребовался бы операционный усилитель с частотой единичного усиления f(1) =

=1,553 10 кГц100 = 1553 кГц≈ 1,5 МГц.

1.7.Полосовые фильтры

Их можно разделить на две группы: широкополосныеи узкополосные.

Широкополосный фильтр по существу и рассмотрен в примере выше. Его полоса очень широка. Нижняя граничная частота в нем определяется частотой среза фильтра верхних частот. Это может быть фильтр любого типа: Бесселя, Баттерворта или Чебышева.

Верхняя граничная частота обусловлена полосой пропускания усилителя. При использовании операционного усилителя со встро-

25

енной коррекциейверхняя частота равна fcр в = f(1)/KUос, где KUос −

усиление усилителя, входящего в состав активного фильтра; f(l) − частотаего единичного усиления.

Полосу частот широкополосного фильтра логично сузить за счет уменьшения fcр в. Для этого последовательно с фильтром верхних частот достаточно включить фильтр нижних частот. Частота среза этого фильтра и будет верхней частотой среза широко-

полосного фильтра. Расчет такого фильтра осуществляют в соо т- ветствиис рассмотренными процедурами. Отдельнорассчитывают

фильтры верхних и нижних частот таким образом, чтобы их частоты среза соответствовали верхней и нижней частотам среза широкополосного фильтра. Крутизна спада характеристики фильтра в области нижних и верхних частот определяется порядком фильтров верхних и нижних частот соответственно.

Узкополосные фильтры. Если необходимо получить фильтр узкополосный, то рассмотренная выше процедура не годится.

Фильтры верхних и нижних частот при близости их частот среза начинают влиять друг на друга. Два таких последовательно включенных фильтра образуют единый фильтр. По этой причине приходится фильтры нижних и верхних частот реализовывать в едином узкополосном фильтре за счет охвата операционного усилителя соответствующими частотно-зависимыми отрицатель-

ными обратными связями. Схема такого активного фильтра представлена на рис. 1.13.

Рис. 1.13

Здесь конденсатор С1 – элемент фильтра верхних частот. С увеличением частоты входного сигнала уменьшается его сопро-

тивление, а следовательно, увеличивается коэффициент передачи

26

схемы. Конденсатор С2 осуществляет функции фильтра нижних частот. С увеличением частоты входного сигнала его сопротивление уменьшается, увеличивается глубина отрицательной обратной связи, что соответственно приводит к уменьшению коэффициента передачи схемы. Следовательно, схеме свойственна определенная

частота, на которой коэффициент передачи схемы максимален. Это центральная частота fц полосового фильтра. При отклонении

частоты сигнала от fц в ту или иную сторону коэффициент передачи схемы уменьшается. Схема на рис. 1.13 в самом деле является узкополосным фильтром, характеризующимся центральной частотой fц. Как всякий фильтр он определяется добротностью Q или

коэффициентом демпфирования α. Помимо fц характеристиками фильтра служат верхняя fср в и нижняя fср н частоты среза. На этих

частотах коэффициент передачи фильтра уменьшается на 3 дБ. Центральнаячастота fц связанас добротностьюQ коэффициентом

демпфирования α,частотамисреза fср в, fср н и полосой пропускания ∆f, замеренной на уровне 0,707KUос, соотношениями:

Из (1.21) следует, что с увеличением добротности фильтра его полоса пропускания сужается, частотысреза сближаются,избирательность фильтра увеличивается (рис. 1.14). К сожалению, это качество фильтра проявляется лишь в узкой полосе частот,т.е. если частота сигнала меняется в пределах 0,5 fц < f < 2fц. Вне этой

полосы частот схема "вырождается" в два последовательно включенных фильтра: фильтр нижних и верхних частот первого поряд-

ка (каждый содержит один реактивный элемент). Это означает спад частотной характеристики со скоростью 20 дБ/дек (рис. 1.14). В результате получается некоторый эквивалентный полосовой фильтр с fср в и fср н, ограничивающими его полосу пропускания

(рис. 1.14).

Коэффициент передачи фильтра и частота на рис. 1.14 норма-

лизованы. Для выявления влияния параметров элементовфильтра на его характеристики достаточно найти выражение для его ком-

плексного коэффициента передачи. Для упрощения процедуры вывода положим равенство емкостей конденсаторов, входящих в состав фильтра.

По аналогии с рассмотренными ранее процедурами и рис. 1.13 получим:

27

Uвх/R1+Uвых/R1R2Ср = −Uвых/R2 − Uвых/R2R3Ср −Uвых(1+ R2С2р)/R2,

откуда

Рис. 1.14

Каноническая передаточная функция имеет вид

Приводя (1.22) к канонической форме (1.23), получаем:

Из соотношений (1.24) и (1.23) находим:

ωц = (R1 + R2 ) /(R1R2R3C2 ) ;

28

Из (1.25) следуют два основных вывода.

Первый: коэффициент демпфирования фильтра ограничивается величиной резистора обратной связиR2. Обычно в таких фильтрах

принимают α = 0,1...0,05, т.е. добротность таких фильтров ограни-

чена Q = 10 ... 20.

Второй:алгоритм синтеза такого фильтра прозрачен:

1. Обычно задают полосу пропускания фильтра fср н и fср в. Это позволяет определить центральную частоту фильтра fц =

= fсрн fсрв и, тем самым,добротность фильтра Q = fц /(fср в− fср н),

его коэффициент демпфированияα = (fср в− fср н)/ fц.

2. Отсюда, задавшись произвольным значением C, легко найти по (1.25б) сопротивление резистора R2. При настройке фильтра следует начинать именно с подбора резистора R2, обеспечивая требуемую полосу пропускания.

3. По заданному коэффициенту передачи фильтра K0 из соот-

ношения (1.25в) найти сопротивление резистора R1. Подбором этого резистора при неизменном R2 подстраивается усиление

фильтра на частоте, равнойfц.

4. На последнем шаге расчета по соотношению (1.25а) определить резистор R3. Его подбором при выбранных R1 и R2 оконча-

Добротность фильтра Q = fц /∆f = 3,240 кГц/0,5 кГц=6,5лежит в пределах рациональных значений.

Выбирая С = 0,027 мкФ, получаем из условия (1.25б)

R2 = 2/2π∆fС = 1/π500 Гц0,027 мкФ = 24 кОм.

По величине R2 и заданному K0 находим R1 = R2 / 2K0 = = –24кОм/2(–5) = 2,4 кОм.

Окончательно определяем сопротивление резистора R3 из усло-

вия (1.25а):

R3 = 4π2R RR1f 2C2 −1 = 1 2 ц

29