1. АНАЛОГОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

1.1. Основные параметры

Обработка аналоговых сигналов, сопряженная с их фильтраци-

ей, состоит в пропускании сигналов вполне определенной частоты (частот). Сигналы других частот должны подавляться илисущест-

венно ослабляться. Электрические цепи, осуществляющие подобные функции, называются фильтрами. Всоответствии с определением понятия "электрический фильтр" такая цепь характеризуется амплитудно-частотными характеристиками. Для наиболее распространенных идеальных фильтров характеристики показаны на рис. 1.1.

Любой идеальный фильтр представляется комбинацией полос пропускания ПП и полос задерживания ПЗ. Между ними наблюда-

ется резкая граница в виде частоты среза fср. Именно на частоте срезанаблюдаетсяпереход от ПП кПЗ или наоборот.

Каждому из представленных на рис. 1.1 фильтров ставится в соответствие вполне определенное название.

На рис. 1.1, а приведена амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних (ФНЧ), а не низкихчастот. Он пропускает сигна-

лы частот 0 ≤ f ≤ fср и полностью подавляет напряжение частот

f > fср.

Амплитудно-частотная характеристика на рис 1.1, б соответствует фильтру верхних (ФВЧ), а не высоких частот. Он пропускает

4

Дополнительно для полосовых фильтров вводят понятие центральной частоты fц. При построении (рисовании) амплитудночастотной характеристики в логарифмических координатах fц – срединная точка отрезка, ограниченного fср н иfср в. В линейных ко-

ординатах fц = fсрн fсрв . Полосовые фильтры характеризуются полосойпропускания

Полоса пропускания однозначно связана с добротностью

фильтра Q илис его коэффициентом затуханияα = 1/Q формулой

Добротность фильтра является мерой его избирательности – чем больше Q,тем ужеполоса пропускания фильтра.

1.2.Математические модели реальных фильтров

Для синтеза реальных фильтров необходимы их математические модели. Характеристики идеальных фильтров, представлен-

ные на рис. 1.1, могут быть аппроксимированы обобщенной передаточной функцией с полиномомn-го порядка в знаменателе и (n- 1)-го в числителе. Посколькулюбой реальный фильтрстроится на основе RLC-элементов, то аппроксимирующие полиномы числителя и знаменателя любой степени удобно представлять набором

простейших фильтров1-го и2-го порядка. Так обобщенная модель фильтра 5-го порядка, содержащая, например, только полюсы в

передаточной функции, имеет вид

Как известно, любой передаточной функции, помимо ампли- тудно-частотной характеристики, соответствует вполне опреде-

ленная фазочастотная характеристика.

Этозначит,чтосинтезируя фильтр, чтобы обеспечить близость его реальной амплитудно-частотной характеристики к таковой у идеального фильтра, зачастую приходится учитывать и его фазочастотную характеристику.

6

Существуют разные модели фильтров, оптимально удовлетворяющие требованиям к их полосе пропускания, полосе перехода от пропускания к задерживанию,а также к вносимым фильтрамифазовым задержкам.

При построении моделей таких фильтров использовались труды

крупных инженеров и ученых, что и обусловило появлениеназваний: фильтр Бесселя, фильтр Баттерворта, фильтр Чебышева,

фильтр Золотарева, фильтр Кауэра (эллиптический фильтр).

Для каждого из этих типов фильтров определены значения частот среза простейших фильтров, входящих в полиномы числителя и знаменателя, а также значения коэффициентов демп-

фирования α.

На первый взгляд кажется,что для построения фильтра с передаточной функцией (1.3), обеспечивающей переход от ПП к ПЗ с крутизной –5×20 дБ/дек = –100 дБ/дек и частотой среза fср достаточно соединить последовательно три простейших фильтра с одинаковыми частотами среза fср и коэффициентами демпфирования

α. На самом деле это невозможно из-за взаимного влияния простейших фильтров. По этой причине для каждого типа фильтра (Бесселя, Баттерворта, Чебышева и т.д.) определены корректирующие коэффициенты, устанавливающие требуемые соотно-

шения ωср1, ωср2, ωср,а также α1, α2, гарантирующие получение желаемой амплитудно-частотной характеристики.

Существующие модели фильтров гарантируют различную близость их амплитудно-частотной характеристики к характеристике

идеального фильтра при разных фазовых сдвигах, проходящих через фильтр сигналов,а также обеспечивающихразную временную реакцию на ступенчатое воздействие.

Фильтр Бесселя. Основная идея, заложенная в модель такого фильтра – минимальное искажение формы сигналов, проходящих

через фильтр. Так, например, сигнал прямоугольной формы представляется рядом гармонических составляющих. Для того

чтобы на выходе фильтра форма сигнала не искажалась по сравнению с исходной, фильтр должен вносить сдвиг фазы, линейно зависящий от частоты гармоники. Именно такие фазовые характеристики обеспечиваются фильтром Бесселя. Фазочастотная характеристика такого простейшего фильтра – фильтра второго порядка – приведена на рис. 1.3, а (наиболее пологая из представленных кривых).

7

Столь хорошая фазочастотная характеристика достигается интенсивным демпфированием, коэффициент демпфирования

здесь равен α = 1,73. Реакция на сту пенчатое воздействие наиболее быстрая, без всплесков выходного напряжения (рис. 1.4, кривая 1).

а

б

Рис. 1.3

8

Недостатком фильтра Бесселя является очень протяженная зона перехода от полосы пропускания к полосе задерживания ( нижняя кривая на рис. 1.3, б). Крутизну перехода от ПП к ПЗ можно увеличить, соединяя последовательно требуемое количество секций простых фильтров (рис. 1.5).

Однако это совсем не означает возможность получения фильтра с резким переходом от ПП к ЗП,поскольку каждая секция простого фильтра характеризуется плавным переходом. Коэффициент

передачи фильтра Бесселя заметно уменьшается в полосе пропускания. Так, на частоте, равной f = 0,1fср, для ФНЧ 1-го порядка он

составляет приблизительно k = 0,9k0 и лишьна частоте f = 0,01fср достигает k = 0,99k0. При построении фильтров Бесселя высокого порядка необходимо руководствоваться таблицами корректирующих коэффициентов.

Фильтр Баттерворта. В эту модель заложена идея обеспече-

ния максимального постоянства коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания. Такие фильтры называют еще фильтрами

с максимально плоской характеристикой. Реализуется эта идея

уменьшением коэффициента демпфирования до значения α = = 1,414. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра представлена на рис. 1.3, б. Этокачестводостигается за счет существенного ухудшения фазочастотной характеристики (рис. 1.3,а). Фильтр Баттерворта имеет более короткую зону перехода от ПП к ПЗ по сравнению с фильтром Бесселя. Крутизна спада характеристики определяется порядком фильтра. Временная характеристика − реакция на ступенчатое воздействие, более медленная по сравнению с фильтром Бесселя (рис. 1.4, кривая 2). Кроме

9

того, здесь появляются затухающие всплески выходного напряжения.

Как ив случаефильтра Б есселя, реализация фильтров Баттерворта высокого порядка осуществляется с использованием таблиц корректирующих коэффициентов.

Фильтры Чебышева. Коль скоро уменьшение коэффициента демпфирования вызывает сужение зоны перехода от ПП к ПЗ,

то эта идея оказалась основной при создании моделей фильтров

Чебышева. К сожалению, уменьшение α приводит не только к более быстрому переходу от ПП к ПЗ, но и к непостоянству коэффициента передачи в полосе пропускания. Он«пульсирует» (далее для простоты будем употреблять слово «пульсация» без кавычек). Амплитуда пульсации определяется порядком фильт-

ра. Предлагаются модели фильтров с амплитудной пульсацией от 0,1 до 3 дБ. Такие фильтры называют: фильтр Чебышева

3 дБ,фильтр Чебышева 0,1 д Б и т. д. Число минимальных и максимальных значений коэффициента передачи в полосе пропускания соответствует порядку фильтра, т.е. числу реактивных элементов в нем. Синтез таких фильтров проводится с использованием соответствующих таблиц корректирующих коэффициентов. Временные характеристики хуже, чем у фильтра Баттерворта (рис. 1.4, кривая 3).

Фильтры Золотарева, эллиптические фильтры, фильтры Кауэра. Эти фильтры имеют максимально короткую зону перехо-

да от ПП к ПЗ. Достигается это за счет пульсацийкоэффициента передачи фильтра не только в полосе пропускания, но и в полосе задерживания. Сравнительные характеристики фильтров Баттерворта иЧебышева приведены на рис. 1.6.

Как видно из рис. 1.6, у фильтра Баттерворта второго порядка зона перехода от ПП к ПЗ достаточно велика. Она ограничена час-

тотой среза fср и некоторой частотой f1, начиная с которой проис-

ходит ослабление сигнала с крутизной K ≈40 дБ/дек. У фильтров Чебышева ослабление сигнала с крутизной, соответствующей порядку фильтра, начинаетсяпрактическисчастотысреза.

Таким образом, фильтры Баттерворта хороши в тех случаях, когда необходимо пропустить полосу полезных сигналов, характери-

зующихся максимальной частотой (фильтр нижних частот) или минимальной частотой (фильтр верхних частот), с минимальным

искажением их амплитуд, ослабляяпри этом сигналы других час-

10

тот. К сожалению, различие между сигналами полезных и других частотздесь оказывается не очень большим.

Более резкое отличие обеспечивают фильтры Чебышева, Золотарева и т.д. Однако здесь приходится мириться с пульсациямиокэффициента передачи в полосе пропускания, а иногда и в полосе

задержания.

Содержание основных параметров фильтра Золотарева ясно из рис. 1.7.

Рис. 1.6

Рис.1.7

11

К параметрам относятся:

• порядок фильтра n, определяющий крутизну спада его характеристики в зонеослабления;

• коэффициент передачи в полосе пропусканияk0;

• коэффициент пульсацийkп в зоне пропускания;

• протяженность зоны перехода от ПП к ПЗ, равнаяf1 – fcр.

1.3. Пассивные и активные фильтры и способы их реализации

Пассивные фильтры строятся на базе таких пассивных элементов, как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. При этом может быть выполнен фильтр любого порядка последовательным соединением простейших RLC-фильтров с любым набором нулей и полюсов в числителе и знаменателе передаточной функции синтезируемого фильтра. Такой подход к синтезу слож-

ных фильтров встречает целый ряд трудностей.

Во-первых, фильтры, ориентированные на работу в области нижних частот, начинают обретать чрезмерные массогабаритные характеристики. Дело в том, что для реализации больших индук-

тивных сопротивленийхL = ωL на низких диапазонах частот требуются большие индуктивностиL.

Это достигается, как известно, использованием в катушках индуктивностейсердечников, хорошо проводящих магнитный поток,

а также катушек с большим числом витков, что и приводит к увеличению массогабаритных характеристик.

Во-вторых, при построении фильтров высокого порядка возникает проблема взаимного влияния составляющих их простых фильтров. Дело в том, что конечное частотно-зависимое входное сопротивление последующей секции простейшего фильтра оказывается нагрузкой предыдущей секции. Выходное же сопротивле-

ние предыдущейсекции,в свою очередь,начинает влиять на передаточную функцию последующей секции простейшего фильтра.

Это означает, что синтез фильтра как процедура перемножения передаточных функций простейших фильтров становится крайне затруднительной.

Эта проблема решается с использованием в фильтрах операционных усилителей. Такие фильтры называются активными. Как известно, операционные усилители позволяют строить схемы кон-

12

верторов сопротивлений и гираторов (соответственно рис. 1.8, а и

1.8, б).

Рис. 1.8

Конвертор сопротивления, как известно, преобразует знак полного сопротивленияZ. ЕслиZ = 1/jωC, то

Zвх = –1/jωC = j/j(–j)ωC = j(1/ωC).

Таким образом, конденсатор в этой схеме преобразуется в "своеобразную" индуктивность. Как и в случае настоящей индук-

тивности, входной ток схемы отстает от напряжения. "Своеобразность" же состоит в том,что здесь с ростом частоты входное с о-

противление схемы не увеличивается,а уменьшается.

Гираторы, в отличие от конверторов, позволяют адекватно преобразовать емкости в индуктивность. В самом деле, если принять

Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R , a Z4 = 1/jωC, то входное сопротивление схемы окажется равным

Zвх = R3/ R (1/ jωC) = j R2ωC = jωLэ,

где Lэ = R2С. Операционные усилителидают возможность реализовать индуктивности с использованием конденсаторов. Так реша-

ется проблема массогабаритных характеристик фильтров нижних частот.

Помимо уменьшения массогабаритных характеристик фильтров на низких частотах, простейшие активные фильтры обеспечивают высокое входное сопротивление, не зависящее от частоты, и практическинулевое выходное. Темсамым реализация фильтров высо-

13