Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Модель исправления ошибок

Вдинамических регрессионных моделях важно различие между долгосрочной

икраткосрочной динамикой.Это различие можно анализировать в рамках модели исправления ошибок.Рассмотрим в д олгосрочном аспекте модель ADL(1, 1):

xt = µ + ϕ1xt−1 + α0zt + α1zt−1 + εt .

Предположим,что фактор zt и ошибка εt являются стационарными процессами.Тогда при |ϕ1| < 1 изучаемая переменная xt также стационарна.Возьмем математические ожидания от обеих частей уравнения модели:

xø = µ + ϕ1xø + α0zø + α1zø.

В этой формуле xø = E(xt ), zø = E(zt ) (стационарные уровни x и z)и учитывается,что E(εt ) = 0.Получаем уравнение

которое описывает долгосрочное стационарное состояние экономического процесса.Коэффициент

отражает долгосрочное влияние z на x.Он совпадает с долгосрочным мультипликатором(15.6).

Модель ADL(1, 1) можно привести к виду,который описывает краткосрочную динамику экономической системы.В этом виде модель называется моделью ис-

правления ошибок,сокращенно ECM (error-correction model):

Предполагается,что если в предыдущий период переменная x отклонилась от своегоÇдолгосрочногозначенияÈ µ! +λz,тоэлемент xt−1 −(µ! +λzt−1) корректируетдинамикувнужномнаправлении.Длятогочтобыэтопроисходило,необходимо выполнение условия |ϕ1| < 1.

514 Глава15.Динамические модели регрессии

1.1.На основе этого ряда по модели yt = 5 + 5xt + 8xt−1 + 9xt−2 + 8xt−3 + + 5xt−4 + εt ,где εt Ñнормально распределенный белый шум с дисперсией

100,сгенерируйте100рядов yt , t = 1, . . . , 20.

1.2.Используя100сгенерированных наборов данных,оцените модель распределенного лага с максимальной длиной лага q = 4.Найдите среднее и дисперсию оценок коэффициентов.Сравните с истинными значениями.

1.3.Для первых5наборов данных выберите наиболее подходящую длину лага на основе информационных критериев Акаике(AIC)и Шварца(BIC),оценив модель для q = 2, . . . , 6.

1.4.Используя все100наборов,оцените модель полиномиального лага с максимальной длиной лага q = 4 и степенью полинома p = 2.Рассчитайте средние и дисперсии оценок весов распределенного лага.Сравните с истинными значениями.Сравните с резуль татами из упражнения1.2и сделайте вывод о том,какие оценки точнее.

1.5.Повторите упражнение1.4для а) q = 4, p = 3;б) q = 6, p = 2 ;в) q = 3, p = 2 .

Упражнение2

Втаблице15.1приведеныданныеизизвестнойстатьиС.Алмонпопромышленным предприятиям США(EXPEND Ñ capital expenditures,капитальные расходы, APPROP Ñ appropriations).

2.1.Постройте графики двух рядов.Что можно сказать по ним о рядах?Видна ли зависимость между рядами(в тот же период или с запаздыванием)?

2.2.Постройте кросс-корреляционную функцию для сдвигов

−12, . . . , 0, . . . , 12.

Сделайте выводы.

2.3.Используя данные,оцените неограниченную модель распределенного лага с максимальной длиной лага q = 6, . . . , 12 для зависимостиEXPENDот APPROP.Используя известные вам методы,выберите длину лага.

2.4.Оцените модель полиномиального л ага с максимальным лагом8и степенью многочлена p = 2, . . . , 6.С помощью статистики Стьюдента проверьте гипотезы p = 5 против p = 6, . . . , p = 3 против p = 2 и выберите наиболее подходящую степень p.

Таблица15.1. (Источник: Almon Shirley. ÇThe Distributed Lag between Capital Appropriations and ExpendituresÈ, Econometrica 33, January1965, pp. 178Ð196)

Упражнение3

В таблице15.2имеются следующие да нные: gas Ñлогарифм среднедушевых реальных расходов на бензин и нефть, price Ñлогарифм реальной цены на бензин и нефть, income Ñлогарифм среднедушевого реального располагаемого дохода, miles Ñлогарифм расхода топлива(в галлонах на милю).

3.1.Оцените авторегрессионную модель с распределенным лагом.В качестве зависимойпеременнойвозьмитеgas,авкачествефакторовÑ incomeиprice. Лаг для всех переменных равен5.

3.2.Найдите коэффициенты долгосрочног о влияния дохода на потребление топлива и цены на потребление топлива(долгосрочные эластичности):

d(gas) Ñдолгосрочная эластичность по доходу , d(income)

d(gas) Ñдолгосрочная эластичность по цене . d(price)

3.3.Вычислите функцию реакции на импульсы(для сдвигов 0, 1, . . . , 40)для влияния дохода на потребление топлива и цены на потребление топлива. Найдите среднюю длину лага для этих двух зависимостей.

3.4.Оцените ту же модель в вид е модели исправления ошибок.

Упражнение4

Втаблице15.3приводятся данные о потреблении и располагаемом доходе

вСША за1953Ð1984гг.

520

Таблица15.3. (Источник: Greene W., Econometric Analysis, 3rd. edition, Macmillan, 1997)

4.2.Оценитепотемжеданныммодельчастичногоприспособления,преобразовав ее вADL(1, 0).Желаемыйуровень потребления CtD зависит от текущегодохода Yt : CtD = β +αYt +ξt ,где CtD Ñненаблюдаемая переменная,задавае-

Задачи

1.С помощью какого метода можно оценить параметры модели распределенного лага(конечного)?

2.В чем основная причина перехода от обычной модели распределенного лага к модели полиномиального лага?

3.В чем основная причина перехода от обычной модели распределенного лага к модели с экспоненциальным лагом?

4.Пусть веса в модели распределенного лага экспоненциально убывают и сам лаг бесконечный.Каким преобразов анием можно перейти к авторегрессионной модели с распределенным лагом?В чем особенность ошибок в этой модели?

5.Процесс с геометрическим лагом задан формулой

Примените к нему преобразование Койка.

6.Примените обратное преобразование Койка к модели ADL(1, 0).

7.Представьте ожидания переменной X в модели адаптивных ожиданий в виде распределенноголагадляфактическинаблюдаемыхзначенийпеременной X .

8.Дляпроцесса xt = 0.1+0.5xt−1 +0.1zt +0.2zt−1 +εt запишитедолгосрочную зависимость между x и z.

9.Запишите следующие процессы в виде модели исправления ошибок:

а) xt = 0.5x−1 + 0.7zt−1 + εt ;

б) xt = 2 + 0.4xt−1 + 2zt + 3zt−1 − 3zt−2 + εt .