74. Тербеліс теңдеуінің салмақтары бар айырымдылық схемалары. Аппроксимация реті және орнықтылығы. Жинақтылығы.

Біртекті перненің аз тербелісін сипаттайтын бір өлшемді есебін қарастырайық

мұндағы -ауытқудың біртекті перненің бойымен таралу жылдамдығы,-берілген функциялар.

(2) теңдеудің мағанасы болғандағы түйіндерінде болады,алжәнеболғанда шешімі шекаралық шарттарымен анықталады; дәлдігібойынша. (2) есебінің ақырлы-айырымдық аппроксимациясын қарастыру үшін,түйіндік нүктелер жүйесін енгіземіз. Келесі екі схеманы қарастырайық.

1)Айқындалған («крест») схемасын қарастырайық.

Мұнда шарты дәлдігімен аппроксимацияланған. Шынында да

(

Берілген дифференциалдық теңдеуінен t=0 деп алатынымыз

Енді ==болатынын ескерсек,онда +g(x)).Бұдан (дан алатынымыз

+g(x))=+O(немесе

)+O(ендеше

+

2)Кранк-Николсон схемасына ұқсас ,айқындалмаған схемасы.

. Шешімдерін Тейлор қатарына жіктеу арқылы,бастапқы есебінің шешімі u(x,t) жеткілікті тегіс болса,онда (3)және (4) схемалары бастапқы есебін h және t бойыншаекінші ретпен аппроксимациялайды.

(3) және (4) есептерінің шешімін меншікті функциялар

жүйесімен Фурье қатарына жіктелуі түрінде іздейміз.Нәтижесінде Фурье коэффициенттері арқылы рекуренттік қатынастарға келеміз.

Айқындалған “крест” схемасы үшін

(5)

Мұндағы Фурье коэффициенттері.

Айқындалмаған схемасы үшін

(6)

Бастапқы есебінің берілулерінің (коэффициенттері мен оң жақтары) жайдақ (туындылары жеткілікті көп) болғанда есептелетін орнықтылық критериін табу үшін (5) және (6) біртекті есептерінің сызықты тәуелсіз шешімдерінің j индекісінен тәуелділігін зерттеуіміз керек.Ол үшін шешімін (7)

Түрінде іздейміз,мұндағы ментұрақтылар және де j индекісітұрақтысының дәрежесі.Енді (5) пен (6)-да

арқылы келесі теңдеулерін аламыз:айқындалған схемасы үшін

Айқындалмаған схемасы үшін

Мұндағы квадыратты теңдеулерін шешіп,сәйкесінше алатынымыз

(10)

(11)

Айқындалған схемасының шешімі.Егер

(12) болса, онда

(13)

Яғни айқындалған айырымдылық схемасы орнықты болады.(12)шарты n=1,2,…,N-1 мәндерінде орындалуы қажет.Бұл шарт n=1,2,…,N-1 орындалады,егер де тәуелділігімен байланысты болса,немесе қарапайым Курант шартымен байланысты болса

Айқындалмаған схемасының шешімі.Бұл жағдайда кез келген n және =1теңдігі орындалады.Бұдан айқындалмаған схемасының абсолютті орнықтылығы шығады.

Аппроксимация қателігі.

Біртекті перненің аз тербелісін сипаттайтын бір өлшемді есебін қарастырайық.

Мұндағы С-ауытқудың (тербелістің ) біртекті перненің бойымен таралу жылдамдығы, f(x,t), a(t),b(t), p(x),q(x)-берілген функциялар.

Болсын.(1) теңдеуде t бойынша екінші туындысы болғандықтан схемадағы қабаттың саны үштен кем болмайды.Келесі белгілеулерін енгізейік:

Y=Ал (1) формуладағы туындыларды келесі формулалармен ауыстырайық (аппроксимациялайық):

Салмақтары бар схемалар жиынын қарастырайық

(4)

Мұндаобылысында шекаралық шарттары мен бірінші бастапқы шартыy(x,0)=p(x) дәл аппроксимацияланады. Екінші бастапқы шартын дәлдігімен аппроксима-

циялайық.

Ендеше .

Сонымен (4)-(5) айырымдылық есебі қойылды.(4)-тен табу үшін j+1 қабатында берілген үшнүктелі айырымдылық теңдеуінің шекаралық есебін аламыз

(6)

мұндағы

Бұл айырымдылық есебі қуалау әдісімен шығады.Қуалау әдісі болғанда орнықты.

Ендіболғанда (4) айырымдылық схемасының аппроксимация қателігін есептейік.Айталық y (4)-(5) есебінің шешімі ал u=u(x,t) (1)-(3) есебінің шешімі болсын.y=z+u (4)-ке қойып алатынымыз

(7)

Мұндағы схемасфның u=u(x,t) шешіміндегі аппроксимация қателігі,-екінші бастапқы шартытің аппроксимация қателігі (5)

формуладанЕндіболатынын ескерсек, онда

.