66. Сызықтық алгебралық теңдеулер жуйесін (сатж) шешудің дәл және итерациялық әдістері. Квадрат түбірлер әдісі. Халецкий әдісі. Итерация және Зейдель әдістері

САТЖ шешу әдістерін негізгі екі топқа бөлуге болады:

1.Дәл әдістері-жүйе шешімін есептеудің ақырлы алгоритмдерін береді (Крамер, Гаусс, негізгі элементтер, квадрат түбірлер т.б. әдістері).

2.Итерациялық әдістер-берілген дәлдікпен жинақталатын шексіз процесстер арқылы жүйе шешімін алуға мүмкіндік береді (итерация,Зейдель,релаксация т.б. әдістері).Дөңгелектеу нәтижесінде дәл әдістердің де нәтижелері жуық болуы мүмкін ,оның үстіне,жалпы жағдайда,түбір қателігінің бағасын алу қиындық тудырады. Ал итерациялық процесстерді қолданғанда тағы әдіс қателігі қосылады.Итерациялық әдістерді тиімді пайдалану бастапқы жуықтауды таңдауға және процесс жинақтылығының тездігіне байланысты.

1.Квадрат түбірлер әдісі.

(1)

мұндағы симметриялы матрица, яғни

транспонирленген екі үшбұрышты матрицаның көбейтіндісі түрінде алуға болады.

(2)

мұндағы және.

матрицасының элементтерін анықтау үшінжәнематрицаларын көбейтіп келесі теңдеулерін аламыз:

Табамыз:

, (j>1)

(3)

жүйенің анықталған бір ғана шешімі болады,егер

онда

матрицасының коэффициенттері нақты болады,егер Бірақ міндетті түрде емес). (2) орындалғанда (1) теңдеуі мына екі теңдеуге эквивалент:немесе ашып жазсақ,

(4)

… … … … … … …

(5)

Осылардан біртіндеп табамыз:

=

(6)

(7)

2.Халецкий әдісі.

матрицасын төменгі үшбұрышты матрица мен диагоналі бірлерден тұратын жоғарғы үшбұрышты матрицасының көбейтіндісі ретінде қарауға болады, яғни

(2)

мұндағы

Онда және элементтері келесі формулалармен анықталады:

,

=

(3)

() (4)

Бұдан ізделінді векторын

(5)

теңдеулерді біртіндеп шешу арқылы табуға болады. жәнематрицалары үшбұрышты болғандықтын, (5) жүйелері оңай шешіледі, яғни

(7)

(6) формуласынан белгісіздердікоэффициенттерімен бірге есептеген ыңғайлы екені көрінеді.

Егер симметриялы болса,яғнионда ().

3.Итерация әдісі.

, ,,деп жорып, (1) жүйенің бірінші теңдеуін ге қатысты, екіншісінге қатысты және т.с.с. шешейік. Нәтижесінде келесі эквивалент жүйесін аламыз:

+

… … … … … … … (2)

+

мұндағы жәнеегер

, арқылы жүйесін мына түрде жазайық :

(2’)

(2’) жүйесін біртіндеп жуықтау әдісімен шешеміз. Нөлдік жуықтау ретінде аламыз. Ары қарай,және т.с.с.() (3)

Егер , болса,онда бұл шекжүйенің шешімі болады. Шынында да ,теңдеуінде шекке көшсек :=немесе

,яғни шектік элементшешімі болады,онда олжүйенің де шешімі.теңдеулерін ашып жазсақ,

, (3’)

(=0,)

орындалу үшін +деп алу керек, мұндағы. Онда (1) жүйеден+

мұндағы ,және (3’)итерация әдісі деп аталады.

4.Зейдель әдісі. Айталық жүйесі берілсін. Кез-келгенжуықтауларын алдық делік. Енді түбірлерініңk–шы жуықтаулары белгілі деп түбірлерініңk+1 –ші жуықтауларын келесі формуласымен есептейміз:

… … … … … … …

… … … … … … …

Зейдель әдісі,қарапайым итерация әдісіне қарағанда, жақсы (тез) жинақтылықты береді. Бірақ-та өте көп есептеулерді қажет етеді.Қарапайым итерация әдісі жинақталмаған жағдайларда да Зейдель әдісі жинақталуы мүмкін. Зейдель әдісінің қарапайым итерация жайырақ жинақталатын кездері де болады. Тіпті,қарапайым әдісі жинақталып, Зейдель әдісі жинақталмайтын жағдайлар болады.