ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗ

20. Метрикалық кеңістік және оның толықтығы. Толық және толық емес кеңістіктердің мысалдары.

Х- кез келген жиын болсын. X={x,y,z,…} жиыны метрикалық кеңістік деп аталады, егер оның әрбір х,у элементтер жұбына төменгі шарттарды қанағаттандыратын нақты сан сәйкес қойылса:

1. тек сонда ғана , егер xy болса, ( ) (тепе-теңдік аксиомасы).

2. (симметрия аксиомасы)

3. Кез келген x,y,z үшін(үшбұрыш теңсіздігі немесе аксиомасы). Х жиынында анықталған, осы қасиеттерге ие функциясыарақашықтық немесе метрика, 1-3 шарттар метрика аксиомалары деп аталады.

Егер Х метрикалық кеңістігінде оның элементтерінен тұратын кез келген іргелі тізбектің шегі болатын элемент бар болса, онда ол толық кеңістік деп аталады. Яғни толық кеңістік дегеніміз – кез келген іргелі тізбек жинақты бола алатын тізбек. Бұл түсініктің маңызын түсіну үшін нақты сандар жиынының толықтығының маңызын еске түсірейік. Мысалы, Коши критериі бойынша, сандар тізбегіжинақты болуы үшін оның іргелі болуы () қажетті және жеткілікті еді.Кіріскен шарлар тізбегі деп соңғысы алдыңғысының ішінде жатқан шарлардың тізбегін айтамыз. Сол сияқты әртүрлі жиындардың кіріскен тізбегін қарастыруға болады. Теорема. Метрикалық кеңістік толық болуы үшін, ондағы әрбір кіріскен тізбек құрайтын радиустары нөлге ұмтылатын тұйық шарлардың қиылысуы бос емес болуы қажет және жеткілікті. Дәлелдеуі. Қажет. () толық метрикалық кеңістікте төменгі тұйық шарлардың тізбегі берілсін:

Онда центрлердің тізбегі іргелі болады, себебі:үшінШарт бойынша Х толық болғандықтан бұл тізбек жинақты және. Және барлықнөмірлері үшінтұйық жиындар болғандықтан, ендеше

Жеткілікті. Әрбір тізбек түріндегі кіріскен шарлардың Х кеңістігінде ортақ нүктесі бар дейік. Х метрикалық кеңістігінде кез келген іргелі тізбекалайық. Оның Х кеңістігінде шегі бар екенін көрсету керек. Берілуі бойыншаүшінСондықтан жеткілікті үлкенжәнеүшінболады. Ендітұйық шарлар алсақ, онда болады. Шынында:

шарларының радиустары нөлге ұмтылады. Шарт бойыншашарларының ортақ нүктесібар жәнеЕндешетізбегі денүктесіне жинақты:егерАлынғанкез келген тізбек болғандықтан Х толық.

Толық және толық емес метрикалық кеңістіктерге мысалдар. 1) R-нақты сандар түзуі толық метрикалық кеңістік. Мұнда әрбір іргелі тізбек жинақты. 2) Евклид кеңістігі де толық метрикалық кеңістік екені белгілі. Оған көз жеткізу үшініргелі тізбек болсын. Онда кез келгенге сәйкеснөмірі

табылып, барлық үшін

Сондықтан әрбір үшінБұл {,…,}тізбегі R кеңістігінде іргелі болғаны, оның шегі бар(m=1,2,…,n). Онда {}⊂ іргелі тізбектің шегі 3) C[a,b] кеңістігінің толықтығын көрсету үшін мұндағы жинақтылық бірқалыпты жинақтылық болатынын көрсету керек. Кез келгеніргелі тізбек берілсін. Онда қандайалсақ та сәйкесіншенөмірі табылып барлықүшін:Сегментте үзіліссіз функциялардың бірқалыпты жинақты тізбегінің шегі де үзіліссіз функция. Сондықтан, соңғы теңсіздіктежағдайда шекке көшсек, барлықжәне барлықүшін:болатынын көреміз.

4) метрикалық кеңістігі толық емес,себебі, бұл кеңістіктегі интегралдық метрика бойынша үзіліссіз функциялар тізбегінің шегі үзілісті функция да болатыны белгілі. Үзілісті функциялар кеңістігінде жатпайды.